Матан, 1 семестр, 2014/15

Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

1. Существует ли биективный многочлен $f(x,y)$:
   1. $\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z}$
   2. $\mathbb {Q} ^{2}\to \mathbb {Q}$

Домашнее задание к 11.09.14

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

1. 
   Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
2. $F\subseteq 2^{\mathbb {N} }$. Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
   1. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:$ либо $A\subseteq B$, либо $B\subseteq A$
   2. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:|A\cap B|<\infty$
3. $E\subseteq \mathbb {N} ,|E|=\infty$. Доказать, что существует $a\in \mathbb {R} ,a>1$ такое, что существует существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что $\left\lfloor {a^{n}}\right\rfloor \in E$ ($\left\lfloor x\right\rfloor$ - целая часть $x$ или округление вниз).

Домашнее задание к 18.09.14

Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

PDF с заданием

Домашнее задание к 25.09.14

1. 1. (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).
   2. (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.
2. 1. (1) Докажите, что если $X_{1}\subset X$ и пространство $(X,\rho )$ сепарабельно, то пространство $(X_{1},\rho )$ тоже сепарабельно.
   2. (1) Пусть $X_{n}$ --- последовательность подмножеств $(X,\rho )$, такая что $(X_{n},\rho )$ сепарабельны, а $\cup X_{n}$ плотно в $X$. Докажите, что $(X,\rho )$ сепарабельно.
3. (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.
4. (1) Пусть $p$ --- простое число. Для $x\in \mathbb {Q} ,x\neq 0$ определим $\|x\|_{p}=p^{-n}$, где число $x$ представлено в виде $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$, где $a,b,n\in \mathbb {Z}$ и $a,b$ не делятся на $p$. Положим $\|0\|_{p}=0$. Докажите, что функция $\rho _{p}(x,y)=\|x-y\|_{p}$ является метрикой на множестве $\mathbb {Q}$.
5. (4) Докажите, что если $X$ --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в $X$ (тем самым, $X$ не счетно).
6. (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.
7. (4) Докажите, что если $\rho _{1}$ и $\rho _{2}$ --- две метрики на множестве $X$, такие что метрические пространства $(X,\rho _{1})$ и $(X,\rho _{2})$ сепарабельны, то метрическое пространство $(X,\rho _{1}+\rho _{2})$ тоже сепарабельно.
8. Найдите множество частичных пределов последовательности
   1. (2) $\{{\sqrt {n}}\}$ ($\{x\}=x-[x]$ --- дробная часть числа $x$, то есть $0\leq \{x\}<1$ и $[x]=x-\{x\}$ --- целое число.)
   2. (3) $\sin(\pi {\sqrt {2}}n)$.

Домашнее задание к 02.10.14

TeX, PDF

1. Найдите предел и $N(\varepsilon )$ для последовательности
   1. (1) $x_{n}={\frac {n^{2}+{\sqrt {n}}\sin(n)}{n^{2}+\cos(n^{3})}};$
   2. (1) $x_{n}={\frac {\ln n}{\sqrt {n}}};$
   3. (1) $x_{n}={\frac {(n+1)(n+2)\dots (n+10)}{(n-1)(n-2)\dots (n-10)}};$
   4. (1) $x_{n}=n^{\frac {3}{2}}({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n-1}}-2{\sqrt {n}}).$
2. 1. (1) Докажите, что последовательность $\sin(n+1/n)$ не имеет предела;
   2. (2) Докажите, что последовательность $\sin(n^{3})$ не имеет предела;
   3. (3) При каких $c$ последовательность $\sin(c\cdot 10^{n})$ имеет предел?
3. (3) Последовательность чисел $x_{n}$ такова, что $x_{n+1}-{\frac {x_{n}}{2}}\to 0$ при $n\to +\infty$. Докажите, что $x_{n}\to 0$ при $n\to +\infty$.
4. (3) Последовательность $x_{n}$ задана следующим образом: $x_{0}=1$, $x_{1}=2$ и $x_{n+1}={\sqrt[{3}]{x_{n}^{2}x_{n-1}}}$ при $n>1$. Докажите, что последовательность $x_{n}$ сходится и найдите ее предел.
5. (3) Последовательность положительных чисел $a_{n}$ такова, что для любых $m,n$ выполнено неравенство $a_{m+n}\leq a_{n}+a_{m}$. Докажите, что последовательность ${\frac {a_{n}}{n}}$ имеет предел.

Домашнее задание к 09.10.14

TeX, PDF

1. Пусть $x_{n}$ и $y_{n}$ --- последовательности вещественных чисел. Пусть $X=\lim \limits _{n\to +\infty }x_{n}$,$Y=\lim \limits _{n\to +\infty }y_{n}$, а функции $N_{x}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,N_{y}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ таковы, что для любого $\varepsilon >0$ при $n>N_{x}(\varepsilon )$ выполнено $|x_{n}-X|<\varepsilon$, а при $n>N_{y}(\varepsilon )$ выполнено $|y_{n}-Y|<\varepsilon$. Найдите предел $Z=\lim \limits _{n\to +\infty }z_{n}$ и функцию $N_{z}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ такую, что для любого $\varepsilon >0$ при $n>N_{z}(\varepsilon )$ выполнено $|z_{n}-Z|<\varepsilon$, если последовательность $z_{n}$ задана соотношением:
   1. (0.5) $z_{n}=x_{n}+y_{n}$;
   2. (0.5) $z_{n}=x_{n}^{2}$;
   3. (1) $z_{n}=x_{n}y_{n}$;
   4. (1) $z_{n}={\frac {1}{y_{n}}}$ (считать $Y\neq 0$);
   5. (1) $z_{n}={\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ (считать $Y\neq 0$);
   6. (1) $z_{n}=x_{n}^{2}y_{n}+y_{n}^{2}x_{n}$;
   7. (1) $z_{n}={\frac {x_{n}^{2}y_{n}+y_{n}^{2}x_{n}}{1+(x_{n}+y_{n})^{2}}}$;
2. (2 балла) Докажите, что последовательность $x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n}}$ имеет конечный предел.
3. (3 балла) Докажите, что последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению $x_{n+1}=x_{n}\sin x_{n}$, сходится.
4. (4 балла) Докажите, что если последовательность $x_{n}$ имеет предел $a$, то последовательность $y_{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}$ тоже имеет предел $a$.

Группа Александра Логунова

Домашнее задание к 02.10.14

Здравствуйте, дорогие студенты!
...
По просьбам трудящихся дз стало меньше, чем в прошлый раз, но это лишь временная мера  в связи с наличием старого дз, которое еще не все сдали. 
Напоминаю, что теперь deadline для старого  Дз  -  до 19 00 воскресенья, а новое дз нужно сдать в ПИСЬМЕННОМ виде на следующей паре. 
В приложении также лежит разбор задачи про sin(n^2), которую разбирали в классе.
Удачи,
А. Логунов

Задания Приложение

Домашнее задание к 25.09.14

Каждая задача стоит от 1-го до 4-ех баллов. Рекомендуется решить все задачи, которые весят 1 - 2 балла. Остальные задачи считайте бонусными. В приложении лежит домашнее задание, в котором исправили нумерацию, и добавили условие про замкнутость в 7-ой задаче. Добавился пункт в 7-ой задаче, когда шары открытые, он оценивается в 1 балл.

Насчет субботы... На этой неделе ничего не будет, а на следующей начнется.
Вопросы можно также задавать по электронной почте.
Важная информация: я решил пойти Вам на встречу и сдвинул deadline до 19 00 Воскресенья.
Если пришлете дз раньше этого срока - я могу успеть указать на ошибки и дать возможность исправить.
Ближе к выходным я пришлю Вам следующее дз на тему пределов.
Удачи,
А.Логунов

PDF с заданием UPD