\documentclass{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{fancy}

\renewcommand{\theenumii}{\asbuk{enumii}}

\begin{document}
\lhead{Домашнее задание к 09.10.2014}
\rhead{Матан, 1 семестр, бакалавриат АУ}

\begin{enumerate}
\item
  Пусть $x_n $ и $y_n $"--- последовательности вещественных чисел. Пусть $X=\lim\limits_{n\to +\infty}x_n $,
  $Y=\lim\limits_{n\to +\infty}y_n $, а функции $N_x \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, N_y \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} $
  таковы, что для любого $\varepsilon > 0$ при $n > N_x(\varepsilon)$ выполнено $|x_n-X|<\varepsilon$, а при $n>N_y(\varepsilon) $ выполнено $|y_n-Y|<\varepsilon $.
  
  Найдите предел $Z=\lim\limits_{n\to +\infty}z_n $ и функцию $N_z \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} $ такую, что для любого $\varepsilon>0 $
  при $n>N_z(\varepsilon) $ выполнено $|z_n-Z|<\varepsilon $, если последовательность $z_n$ задана соотношением:

  \begin{enumerate}
  \item (0.5) $z_n = x_n + y_n $;
  \item (0.5) $z_n = x_n^2 $;
  \item (1) $z_n = x_n y_n $; 
  \item (1) $z_n = \frac{1}{y_n} $ (считать $Y\ne 0 $);
  \item (1) $z_n =\frac{x_n}{y_n} $ (считать $Y\ne 0 $);
  \item (1) $z_n = x_n^2y_n + y_n^2x_n $;
  \item (1) $z_n = \frac{x_n^2y_n + y_n^2x_n}{1+(x_n+y_n)^2} $; 
  \end{enumerate}
\item (2 балла) Докажите, что последовательность $x_n=\sqrt{n} \cdot \frac{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n} $ имеет конечный предел.
\item (3 балла) Докажите, что последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению $x_{n+1}=x_n \sin x_n $, сходится.
\item (4 балла) Докажите, что если последовательность $x_n $ имеет предел $a $, то последовательность $y_n=\frac{x_1+x_2+\dots + x_n}{n} $ тоже имеет предел $a $.
\end{enumerate}

\end{document}
