\documentclass{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{fancyhdr}

\pagestyle{fancy}

\renewcommand{\theenumii}{\asbuk{enumii}}

\begin{document}
\lhead{Домашнее задание к 02.10.2014}
\rhead{Матан, 1 семестр, бакалавриат АУ}

\begin{enumerate}
\item Найдите предел и $N(\varepsilon)$ для последовательности
  \begin{enumerate}
  \item (1) $x_n=\frac{n^2+\sqrt{n}\sin(n)}{n^2+\cos(n^3)};$ 
  \item (1) $x_n=\frac{\ln n}{\sqrt{n}};$
  \item (1) $x_n=\frac{(n+1)(n+2) \dots (n+10)}{(n-1)(n-2) \dots (n-10)};$
  \item (1) $x_n = n^{\frac{3}{2}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}).$
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item (1) Докажите, что последовательность $\sin(n+1/n)$ не имеет предела;
  \item (2) Докажите, что последовательность $\sin(n^3)$ не имеет предела;
  \item (3) При каких $c$ последовательность $\sin(c\cdot 10^n)$ имеет предел?
  \end{enumerate}
\item (3) Последовательность чисел $x_n$ такова, что $x_{n+1}-\frac{x_n}{2} \to 0$ при $n \to +\infty$. Докажите, что  $x_n \to 0$ при $n \to +\infty$.
\item (3) Последовательность $x_n$ задана следующим образом: $x_0=1$, $x_1=2$ и $x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n^2 x_{n-1}}$  при $n>1$. Докажите, что последовательность $x_n$ сходится и найдите ее предел.
\item (3) Последовательность положительных чисел $a_n$ такова, что для любых $m,n$ выполнено неравенство $a_{m+n}\leq a_n + a_m$. Докажите, что последовательность $\frac{a_n}{n}$ имеет предел.
\end{enumerate}
\end{document}
