Версия 13:29, 6 октября 2014

Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

1. Существует ли биективный многочлен ${\displaystyle f(x,y)}$:
   1. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} }$
   2. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}\to \mathbb {Q} }$

Домашнее задание к 09.10.14

TeX, PDF

1. Пусть ${\displaystyle x_{n}}$ и ${\displaystyle y_{n}}$ --- последовательности вещественных чисел. Пусть ${\displaystyle X=\lim \limits _{n\to +\infty }x_{n}}$,${\displaystyle Y=\lim \limits _{n\to +\infty }y_{n}}$, а функции ${\displaystyle N_{x}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,N_{y}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$ таковы, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ при ${\displaystyle n>N_{x}(\varepsilon )}$ выполнено ${\displaystyle |x_{n}-X|<\varepsilon }$, а при ${\displaystyle n>N_{y}(\varepsilon )}$ выполнено ${\displaystyle |y_{n}-Y|<\varepsilon }$. Найдите предел ${\displaystyle Z=\lim \limits _{n\to +\infty }z_{n}}$ и функцию ${\displaystyle N_{z}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$ такую, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ при ${\displaystyle n>N_{z}(\varepsilon )}$ выполнено ${\displaystyle |z_{n}-Z|<\varepsilon }$, если последовательность ${\displaystyle z_{n}}$ задана соотношением:
   1. (0.5) ${\displaystyle z_{n}=x_{n}+y_{n}}$;
   2. (0.5) ${\displaystyle z_{n}=x_{n}^{2}}$;
   3. (1) ${\displaystyle z_{n}=x_{n}y_{n}}$;
   4. (1) ${\displaystyle z_{n}={\frac {1}{y_{n}}}}$ (считать ${\displaystyle Y\neq 0}$);
   5. (1) ${\displaystyle z_{n}={\frac {x_{n}}{y_{n}}}}$ (считать ${\displaystyle Y\neq 0}$);
   6. (1) ${\displaystyle z_{n}=x_{n}^{2}y_{n}+y_{n}^{2}x_{n}}$;
   7. (1) ${\displaystyle z_{n}={\frac {x_{n}^{2}y_{n}+y_{n}^{2}x_{n}}{1+(x_{n}+y_{n})^{2}}}}$;
2. (2 балла) Докажите, что последовательность ${\displaystyle x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n}}}$ имеет конечный предел.
3. (3 балла) Докажите, что последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\sin x_{n}}$, сходится.
4. (4 балла) Докажите, что если последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ имеет предел ${\displaystyle a}$, то последовательность ${\displaystyle y_{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}}$ тоже имеет предел ${\displaystyle a}$.

Домашнее задание к 02.10.14

TeX, PDF

1. Найдите предел и ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ для последовательности
   1. (1) ${\displaystyle x_{n}={\frac {n^{2}+{\sqrt {n}}\sin(n)}{n^{2}+\cos(n^{3})}};}$
   2. (1) ${\displaystyle x_{n}={\frac {\ln n}{\sqrt {n}}};}$
   3. (1) ${\displaystyle x_{n}={\frac {(n+1)(n+2)\dots (n+10)}{(n-1)(n-2)\dots (n-10)}};}$
   4. (1) ${\displaystyle x_{n}=n^{\frac {3}{2}}({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n-1}}-2{\sqrt {n}}).}$
2. 1. (1) Докажите, что последовательность ${\displaystyle \sin(n+1/n)}$ не имеет предела;
   2. (2) Докажите, что последовательность ${\displaystyle \sin(n^{3})}$ не имеет предела;
   3. (3) При каких ${\displaystyle c}$ последовательность ${\displaystyle \sin(c\cdot 10^{n})}$ имеет предел?
3. (3) Последовательность чисел ${\displaystyle x_{n}}$ такова, что ${\displaystyle x_{n+1}-{\frac {x_{n}}{2}}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$. Докажите, что ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$.
4. (3) Последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ задана следующим образом: ${\displaystyle x_{0}=1}$, ${\displaystyle x_{1}=2}$ и ${\displaystyle x_{n+1}={\sqrt[{3}]{x_{n}^{2}x_{n-1}}}}$ при ${\displaystyle n>1}$. Докажите, что последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ сходится и найдите ее предел.
5. (3) Последовательность положительных чисел ${\displaystyle a_{n}}$ такова, что для любых ${\displaystyle m,n}$ выполнено неравенство ${\displaystyle a_{m+n}\leq a_{n}+a_{m}}$. Докажите, что последовательность ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{n}}}$ имеет предел.

Домашнее задание к 25.09.14

1. 1. (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).
   2. (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.
2. 1. (1) Докажите, что если ${\displaystyle X_{1}\subset X}$ и пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ сепарабельно, то пространство ${\displaystyle (X_{1},\rho )}$ тоже сепарабельно.
   2. (1) Пусть ${\displaystyle X_{n}}$ --- последовательность подмножеств ${\displaystyle (X,\rho )}$, такая что ${\displaystyle (X_{n},\rho )}$ сепарабельны, а ${\displaystyle \cup X_{n}}$ плотно в ${\displaystyle X}$. Докажите, что ${\displaystyle (X,\rho )}$ сепарабельно.
3. (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.
4. (1) Пусть ${\displaystyle p}$ --- простое число. Для ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ,x\neq 0}$ определим ${\displaystyle \|x\|_{p}=p^{-n}}$, где число ${\displaystyle x}$ представлено в виде ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, где ${\displaystyle a,b,n\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle a,b}$ не делятся на ${\displaystyle p}$. Положим ${\displaystyle \|0\|_{p}=0}$. Докажите, что функция ${\displaystyle \rho _{p}(x,y)=\|x-y\|_{p}}$ является метрикой на множестве ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
5. (4) Докажите, что если ${\displaystyle X}$ --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в ${\displaystyle X}$ (тем самым, ${\displaystyle X}$ не счетно).
6. (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.
7. (4) Докажите, что если ${\displaystyle \rho _{1}}$ и ${\displaystyle \rho _{2}}$ --- две метрики на множестве ${\displaystyle X}$, такие что метрические пространства ${\displaystyle (X,\rho _{1})}$ и ${\displaystyle (X,\rho _{2})}$ сепарабельны, то метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho _{1}+\rho _{2})}$ тоже сепарабельно.
8. Найдите множество частичных пределов последовательности
   1. (2) ${\displaystyle \{{\sqrt {n}}\}}$ (${\displaystyle \{x\}=x-[x]}$ --- дробная часть числа ${\displaystyle x}$, то есть ${\displaystyle 0\leq \{x\}<1}$ и ${\displaystyle [x]=x-\{x\}}$ --- целое число.)
   2. (3) ${\displaystyle \sin(\pi {\sqrt {2}}n)}$.

Домашнее задание к 18.09.14

Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

PDF с заданием

Домашнее задание к 11.09.14

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

1. 
   Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
2. ${\displaystyle F\subseteq 2^{\mathbb {N} }}$. Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
   1. ${\displaystyle \forall A,B\subseteq F,A\neq B:}$ либо ${\displaystyle A\subseteq B}$, либо ${\displaystyle B\subseteq A}$
   2. ${\displaystyle \forall A,B\subseteq F,A\neq B:|A\cap B|<\infty }$
3. ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {N} ,|E|=\infty }$. Доказать, что существует ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a>1}$ такое, что существует существует бесконечно много натуральных ${\displaystyle n}$ таких, что ${\displaystyle \left\lfloor {a^{n}}\right\rfloor \in E}$ (${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ - целая часть ${\displaystyle x}$ или округление вниз).

Группа Александра Логунова

Домашнее задание к 02.10.14

Здравствуйте, дорогие студенты!
...
По просьбам трудящихся дз стало меньше, чем в прошлый раз, но это лишь временная мера  в связи с наличием старого дз, которое еще не все сдали. 
Напоминаю, что теперь deadline для старого  Дз  -  до 19 00 воскресенья, а новое дз нужно сдать в ПИСЬМЕННОМ виде на следующей паре. 
В приложении также лежит разбор задачи про sin(n^2), которую разбирали в классе.
Удачи,
А. Логунов

Задания Приложение

Домашнее задание к 25.09.14

Каждая задача стоит от 1-го до 4-ех баллов. Рекомендуется решить все задачи, которые весят 1 - 2 балла. Остальные задачи считайте бонусными. В приложении лежит домашнее задание, в котором исправили нумерацию, и добавили условие про замкнутость в 7-ой задаче. Добавился пункт в 7-ой задаче, когда шары открытые, он оценивается в 1 балл.

Насчет субботы... На этой неделе ничего не будет, а на следующей начнется.
Вопросы можно также задавать по электронной почте.
Важная информация: я решил пойти Вам на встречу и сдвинул deadline до 19 00 Воскресенья.
Если пришлете дз раньше этого срока - я могу успеть указать на ошибки и дать возможность исправить.
Ближе к выходным я пришлю Вам следующее дз на тему пределов.
Удачи,
А.Логунов

PDF с заданием UPD