Алгебраические структуры 2014 — различия между версиями

Версия 12:59, 15 октября 2014

Преподаватель (лекции и практика): Горячко Евгений Евгеньевич

Содержание

1 Программа курса
2 Результаты
3 Основные материалы
4 Домашние задания
- 4.1 Требования
- 4.2 Задачи
5 Список литературы
- 5.1 Основная литература
- 5.2 Дополнительная литература

Программа курса

Структуры, гомоморфизмы структур. Моноиды. Группы. Числовые группы, симметрические группы и группы автоморфизмов графов.
Подгруппы, классы смежности. Лемма о разбиениях на классы смежности, теорема Лагранжа. Порядок элемента. Лемма о порядке элемента.
Циклические группы. Теорема об описании циклических групп. Дискретный логарифм. Две теоремы о подгруппах циклической группы.
Нормальные подгруппы. Сопряжение элементов. Разбиение на классы сопряженности. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме для групп.
Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении. Теорема о разложении конечной циклической группы в прямое произведение.
Кольца. Числовые кольца, кольца многочленов. Области целостности. Поля. Подкольца. Идеалы, факторкольца. Прямое произведение колец.
Описание $\mathrm {gcd}$ и $\mathrm {lcm}$ в кольце $\mathbb {Z}$ в терминах идеалов. Соотношение и коэффициенты Безу, алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках.
Функция Эйлера. Лемма об обратимых остатках. Теорема Эйлера. Теорема о функции Эйлера. Теорема о группах обратимых остатков.
Критерий существования дискретного логарифма по модулю $n$ . Тесты Ферма, Эйлера и Миллера–Рабина. Числа Кармайкла. Алгоритм RSA.
Симметрические группы. Транспозиции. Инверсии. Теорема о разложении перестановки в произведение фундаментальных транспозиций.
Знак перестановки и знакопеременные группы. Цикловый тип. Теорема об описании классов сопряженности в симметрических группах.

Результаты

Основные материалы

Домашние задания

Требования

Решения задач нужно сдавать преподавателю в виде записей или распечаток. Посылать решения по электронной почте можно, если и только если имеется уважительная причина, по которой их нельзя отдать на бумаге. Решения задачи не принимаются после того, как эта задача разобрана на практике. За каждую задачу можно получить баллы в количестве от нуля до полной стоимости задачи (она указана около номера задачи). На одной практике планируется разбирать около пяти задач в порядке возрастания номера задачи.

Задачи

Моноиды и группы (к 10 сентября) [без баллов]
ДЗ1: подгруппы, циклические группы, сопряженность (задачи 1-5 к 24 сентября, задачу 10 к 1 октября, задачи 6-9 к 8 октября) + теория по циклическим группам
ДЗ2: применение теоремы о ядре и образе гомоорфизма групп (к 15 октября)

Список литературы

Основная литература

Винберг Э.Б. Курс Алгебры
Кострикин А.И. Введение в агебру. Том 1.
Ленг С. Алгебра

Первые две книги с разжеванным материалом, третья — с сжатым, но многочисленным.

Дополнительная литература

Кострикин А.И. Введение в агебру. Том 3.
Верещагин Н.К., Шень А.Х. Языки и исчисления

@@ Строка 30: / Строка 30: @@
 # [http://mit.spbau.ru/sewiki/images/b/b9/%D0%94%D0%971._%D0%9C%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D1%8B%2C_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B_%28%D0%B2_%D1%82.%D1%87._%D0%B0%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D1%8B_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2%2C_%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8B_%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8%29.pdf Моноиды и группы] (к 10 сентября) [без баллов]
 # [http://mit.spbau.ru/sewiki/images/d/d3/%D0%94%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_1_%D0%BF%D0%BE_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%BC_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BC.pdf ДЗ1: подгруппы, циклические группы, сопряженность] (задачи 1-5 к 24 сентября, задачу 10 к 1 октября, задачи 6-9 к 8 октября) + [http://mit.spbau.ru/sewiki/images/0/03/Q3._%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE_%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%BC_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0%D0%BC.pdf теория по циклическим группам]
-# Задача к 15 октября: для каждой ниже представленной пары изоморфных групп вида <math>G/{...}_1 \cong {...}_2</math> задать явно какой-либо гомоморфизм <math>f\in \mathrm{Hom}(G, {...}_2)</math> такой, что у него ядро <math>\mathrm{Ker} f= {...}_1</math> и  образ <math>\mathrm{Im} f= {...}_2</math> (в общем, как в теореме на практике 8.10.2014):
+# [http://mit.spbau.ru/sewiki/images/9/9b/%D0%94%D0%972._%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE_%D1%8F%D0%B4%D1%80%D0%B5_%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B5_%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF.pdf ДЗ2: применение теоремы о ядре и образе гомоорфизма групп] (к 15 октября)
-## <math>\mathbb{C}^\times/\mu_n \cong \mathbb{C}^\times</math>, где <math>n\in \mathbb{N}</math>
-## <math>\mathbb{Q}^+/\mathbb{Z}^+\cong \mu_\infty</math>, где <math>\mu_\infty=\{z\in\mathbb{C}\mid \exists n\in\mathbb{N}(z^n=1)\}</math>
-## <math>\mathbb{C}^\times / (\mu_n\mathbb{R}_{>0})\cong\mathbb{T}</math><!--
- --><p>Например, для пары групп <math>(\mathbb{C}^\times, \mathbb{R}_{>0}) </math> примером требуемого гомоморфизма является <math>z\mapsto |z|</math>, т.к. <math>\mathbb{C}^\times / \mathrm{Ker} f \cong  \mathrm{Im} f \Leftrightarrow \mathbb{C}^\times /\mathbb{T}\cong \mathbb{R}_{>0}</math>.</p>
 == Список литературы ==