Алгебраические структуры 2014

Преподаватель (лекции и практика): Горячко Евгений Евгеньевич

Программа курса

1. Структуры, гомоморфизмы структур. Моноиды. Группы. Числовые группы, симметрические группы и группы автоморфизмов графов.
2. Подгруппы, классы смежности. Лемма о разбиениях на классы смежности, теорема Лагранжа. Порядок элемента. Лемма о порядке элемента.
3. Циклические группы. Теорема об описании циклических групп. Дискретный логарифм. Две теоремы о подгруппах циклической группы.
4. Нормальные подгруппы. Сопряжение элементов. Разбиение на классы сопряженности. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме для групп.
5. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении. Теорема о разложении конечной циклической группы в прямое произведение.
6. Кольца. Числовые кольца, кольца многочленов. Области целостности. Поля. Подкольца. Идеалы, факторкольца. Прямое произведение колец.
7. Описание $\mathrm {gcd}$ и $\mathrm {lcm}$ в кольце $\mathbb {Z}$ в терминах идеалов. Соотношение и коэффициенты Безу, алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках.
8. Функция Эйлера. Лемма об обратимых остатках. Теорема Эйлера. Теорема о функции Эйлера. Теорема о группах обратимых остатков.
9. Критерий существования дискретного логарифма по модулю $n$. Тесты Ферма, Эйлера и Миллера–Рабина. Числа Кармайкла. Алгоритм RSA.
10. Симметрические группы. Транспозиции. Инверсии. Теорема о разложении перестановки в произведение фундаментальных транспозиций.
11. Знак перестановки и знакопеременные группы. Цикловый тип. Теорема об описании классов сопряженности в симметрических группах.

Основные материалы

• Основные обозначения
• Основные утверждения
• Теория по циклическим группам

Домашние задания

Требования

Решения задач нужно сдавать преподавателю в виде записей или распечаток. Посылать решения по электронной почте можно, если и только если имеется уважительная причина, по которой их нельзя отдать на бумаге. Решения задачи не принимаются после того, как эта задача разобрана на практике. За каждую задачу можно получить баллы в количестве от нуля до полной стоимости задачи (она указана около номера задачи). На одной практике планируется разбирать около пяти задач в порядке возрастания номера задачи.

Задачи

1. Моноиды и группы (к 10 сентября) [без баллов]
2. ДЗ1: подгруппы, циклические группы, сопряженность (задачи 1-5 к 24 сентября, задачу 10 к 1 октября, задачи 6-9 к 8 октября) + теория по циклическим группам
3. Задача к 15 октября: для каждой ниже представленной пары изоморфных групп вида $G/{...}_{1}\cong {...}_{2}$ задать явно какой-либо гомоморфизм $f\in \mathrm {Hom} (G,{...}_{2})$ такой, что у него ядро $\mathrm {Ker} f={...}_{1}$ и образ $\mathrm {Im} f={...}_{2}$ (в общем, как в теореме на практике 8.10.2014):
   1. $\mathbb {C} ^{\times }/\mu _{n}\cong \mathbb {C} ^{\times }$, где $n\in \mathbb {N}$
   2. $\mathbb {Q} ^{+}/\mathbb {Z} ^{+}\cong \mu _{\infty }$, где $\mu _{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid \exists n\in \mathbb {N} (z^{n}=1)\}$
   3. $\mathbb {C} ^{\times }/(\mu _{n}\mathbb {R} _{>0})\cong \mathbb {T}$

      Например, для пары групп $(\mathbb {C} ^{\times },\mathbb {R} _{>0})$ примером требуемого гомоморфизма является $z\mapsto |z|$, т.к. $\mathbb {C} ^{\times }/\mathrm {Ker} f\cong \mathrm {Im} f\Leftrightarrow \mathbb {C} ^{\times }/\mathbb {T} \cong \mathbb {R} _{>0}$.

Список литературы

Основная литература

• Винберг Э.Б. Курс Алгебры
• Кострикин А.И. Введение в агебру. Том 1.
• Ленг С. Алгебра

Первые две книги с разжеванным материалом, третья — с сжатым, но многочисленным.

Дополнительная литература

• Кострикин А.И. Введение в агебру. Том 3.
• Верещагин Н.К., Шень А.Х. Языки и исчисления