Алгебраические структуры 2014 — различия между версиями

Версия 15:03, 8 октября 2014

Преподаватель (лекции и практика): Горячко Евгений Евгеньевич

Программа курса

1. Структуры, гомоморфизмы структур. Моноиды. Группы. Числовые группы, симметрические группы и группы автоморфизмов графов.
2. Подгруппы, классы смежности. Лемма о разбиениях на классы смежности, теорема Лагранжа. Порядок элемента. Лемма о порядке элемента.
3. Циклические группы. Теорема об описании циклических групп. Дискретный логарифм. Две теоремы о подгруппах циклической группы.
4. Нормальные подгруппы. Сопряжение элементов. Разбиение на классы сопряженности. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме для групп.
5. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении. Теорема о разложении конечной циклической группы в прямое произведение.
6. Кольца. Числовые кольца, кольца многочленов. Области целостности. Поля. Подкольца. Идеалы, факторкольца. Прямое произведение колец.
7. Описание ${\displaystyle \mathrm {gcd} }$ и ${\displaystyle \mathrm {lcm} }$ в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в терминах идеалов. Соотношение и коэффициенты Безу, алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках.
8. Функция Эйлера. Лемма об обратимых остатках. Теорема Эйлера. Теорема о функции Эйлера. Теорема о группах обратимых остатков.
9. Критерий существования дискретного логарифма по модулю ${\displaystyle n}$. Тесты Ферма, Эйлера и Миллера–Рабина. Числа Кармайкла. Алгоритм RSA.
10. Симметрические группы. Транспозиции. Инверсии. Теорема о разложении перестановки в произведение фундаментальных транспозиций.
11. Знак перестановки и знакопеременные группы. Цикловый тип. Теорема об описании классов сопряженности в симметрических группах.

Основные материалы

• Основные обозначения
• Основные утверждения
• Теория по циклическим группам

Домашние задания

Требования

Решения задач нужно сдавать преподавателю в виде записей или распечаток. Посылать решения по электронной почте можно, если и только если имеется уважительная причина, по которой их нельзя отдать на бумаге. Решения задачи не принимаются после того, как эта задача разобрана на практике. За каждую задачу можно получить баллы в количестве от нуля до полной стоимости задачи (она указана около номера задачи). На одной практике планируется разбирать около пяти задач в порядке возрастания номера задачи.

Задачи

1. Моноиды и группы (к 10 сентября) [без баллов]
2. ДЗ1: подгруппы, циклические группы, сопряженность (задачи 1-5 к 24 сентября, задачу 10 к 1 октября, задачи 6-9 к 8 октября) + теория по циклическим группам
3. Задача к 15 октября: для каждой ниже представленной пары изоморфных групп вида ${\displaystyle G/{...}_{1}\cong {...}_{2}}$ задать явно какой-либо гомоморфизм ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (G,{...}_{2})}$ такой, что у него ядро ${\displaystyle \mathrm {Ker} f={...}_{1}}$ и образ ${\displaystyle \mathrm {Im} f={...}_{2}}$ (в общем, как в теореме на практике 8.10.2014):
   1. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }/\mu _{n}\cong \mathbb {C} ^{\times }}$, где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
   2. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}/\mathbb {Z} ^{+}\cong \mu _{\infty }}$, где ${\displaystyle \mu _{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid \exists n\in \mathbb {N} (z^{n}=1)\}}$
   3. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }/(\mu _{n}\mathbb {R} _{>0})\cong \mathbb {T} }$

      Например, для пары групп ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{\times },\mathbb {R} _{>0})}$ примером требуемого гомоморфизма является ${\displaystyle z\mapsto |z|}$, т.к. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }/\mathrm {Ker} f\cong \mathrm {Im} f\Leftrightarrow \mathbb {C} ^{\times }/\mathbb {T} \cong \mathbb {R} _{>0}}$.

Список литературы

Основная литература

• Винберг Э.Б. Курс Алгебры
• Кострикин А.И. Введение в агебру. Том 1.
• Ленг С. Алгебра

Первые две книги с разжеванным материалом, третья — с сжатым, но многочисленным.

Дополнительная литература

• Кострикин А.И. Введение в агебру. Том 3.
• Верещагин Н.К., Шень А.Х. Языки и исчисления