Матан, 1 семестр, 2014/15 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
(Домашнее задание к 02.10.14)
(Домашнее задание к 02.10.14)
Строка 43: Строка 43:
 
== Домашнее задание к 02.10.14 ==
 
== Домашнее задание к 02.10.14 ==
  
1. Найдите предел и <math>N(\varepsilon)</math> для последовательности
+
# Найдите предел и <math>N(\varepsilon)</math> для последовательности
+
## (1) <math>x_n=\frac{n^2+\sqrt{n}\sin(n)}{n^2+\cos(n^3)};</math>  
  а)(1) <math>x_n=\frac{n^2+\sqrt{n}\sin(n)}{n^2+\cos(n^3)};</math>
+
## (1) <math>x_n=\frac{\ln n}{\sqrt{n}};</math>
+
## (1) <math>x_n=\frac{(n+1)(n+2) \dots (n+10)}{(n-1)(n-2) \dots (n-10)};</math>
  б)(1) <math>x_n=\frac{\ln n}{\sqrt{n}};</math>
+
## (1) <math>x_n = n^{\frac{3}{2}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}).</math>
+
#
  в)(1) <math>x_n=\frac{(n+1)(n+2) \dots (n+10)}{(n-1)(n-2) \dots (n-10)};</math>
+
## (1) Докажите, что последовательность <math>\sin(n+1/n)</math> не имеет предела;
+
## (2) Докажите, что последовательность <math>\sin(n^3)</math> не имеет предела;
г)(1) <math>x_n = n^{\frac{3}{2}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}).</math>
+
## (3) При каких <math>c</math> последовательность <math>\sin(c\cdot 10^n)</math> имеет предел?
 
+
# (3) Последовательность чисел <math>x_n</math> такова, что <math>x_{n+1}-\frac{x_n}{2} \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>. Докажите, что <math>x_n \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>.
2. а) (1) Докажите, что последовательность <math>\sin(n+1/n)</math> не имеет предела;
+
# (3) Последовательность <math>x_n</math> задана следующим образом: <math>x_0=1</math>, <math>x_1=2</math> и <math>x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n^2 x_{n-1}}</math> при <math>n>1</math>. Докажите, что последовательность <math>x_n</math> сходится и найдите ее предел.
 
+
# (3) Последовательность положительных чисел <math>a_n</math> такова, что для любых <math>m,n</math> выполнено неравенство <math>a_{m+n}\leq a_n + a_m</math>. Докажите, что последовательность <math>\frac{a_n}{n}</math> имеет предел.
  б) (2) Докажите, что последовательность <math>\sin(n^3)</math> не имеет предела;
+
 
+
  в) (3) При каких <math>c</math> последовательность <math>\sin(c\cdot 10^n)</math> имеет предел?
+
 
+
 
+
3. (3) Последовательность чисел <math>x_n</math> такова, что <math>x_{n+1}-\frac{x_n}{2} \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>. Докажите, что  
+
<math>x_n \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>.
+
 
+
4. (3) Последовательность <math>x_n</math> задана следующим образом: <math>x_0=1</math>, <math>x_1=2</math> и <math>x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n^2 x_{n-1}}</math>  
+
при <math>n>1</math>. Докажите, что последовательность <math>x_n</math> сходится и найдите ее предел.
+
 
+
5. (3) Последовательность положительных чисел <math>a_n</math> такова, что для любых <math>m,n</math> выполнено неравенство <math>a_{m+n}\leq a_n + a_m</math>.
+
Докажите, что последовательность <math>\frac{a_n}{n}</math> имеет предел.
+
  
 
= Группа Александра Логунова =
 
= Группа Александра Логунова =

Версия 11:32, 2 октября 2014

Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

  1. Существует ли биективный многочлен :

Домашнее задание к 11.09.14

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

  1. Calculus 2014 140911 b.svg
    Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
  2. . Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
    1. либо , либо
  3. . Доказать, что существует такое, что существует существует бесконечно много натуральных таких, что ( - целая часть или округление вниз).

Домашнее задание к 18.09.14

Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

PDF с заданием

Домашнее задание к 25.09.14

    1. (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).
    2. (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.
    1. (1) Докажите, что если и пространство сепарабельно, то пространство тоже сепарабельно.
    2. (1) Пусть --- последовательность подмножеств , такая что сепарабельны, а плотно в . Докажите, что сепарабельно.
  1. (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.
  2. (1) Пусть --- простое число. Для определим , где число представлено в виде , где и не делятся на . Положим . Докажите, что функция является метрикой на множестве .
  3. (4) Докажите, что если --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в (тем самым, не счетно).
  4. (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.
  5. (4) Докажите, что если и --- две метрики на множестве , такие что метрические пространства и сепарабельны, то метрическое пространство тоже сепарабельно.
  6. Найдите множество частичных пределов последовательности
    1. (2) ( --- дробная часть числа , то есть и --- целое число.)
    2. (3) .

Домашнее задание к 02.10.14

  1. Найдите предел и для последовательности
    1. (1)
    2. (1)
    3. (1)
    4. (1)
    1. (1) Докажите, что последовательность не имеет предела;
    2. (2) Докажите, что последовательность не имеет предела;
    3. (3) При каких последовательность имеет предел?
  2. (3) Последовательность чисел такова, что при . Докажите, что при .
  3. (3) Последовательность задана следующим образом: , и при . Докажите, что последовательность сходится и найдите ее предел.
  4. (3) Последовательность положительных чисел такова, что для любых выполнено неравенство . Докажите, что последовательность имеет предел.

Группа Александра Логунова

Домашнее задание к 02.10.14

Здравствуйте, дорогие студенты!
...
По просьбам трудящихся дз стало меньше, чем в прошлый раз, но это лишь временная мера  в связи с наличием старого дз, которое еще не все сдали. 
Напоминаю, что теперь deadline для старого  Дз  -  до 19 00 воскресенья, а новое дз нужно сдать в ПИСЬМЕННОМ виде на следующей паре. 
В приложении также лежит разбор задачи про sin(n^2), которую разбирали в классе.
Удачи,
А. Логунов

Задания Приложение

Домашнее задание к 25.09.14

Каждая задача стоит от 1-го до 4-ех баллов. Рекомендуется решить все задачи, которые весят 1 - 2 балла. Остальные задачи считайте бонусными. В приложении лежит домашнее задание, в котором исправили нумерацию, и добавили условие про замкнутость в 7-ой задаче. Добавился пункт в 7-ой задаче, когда шары открытые, он оценивается в 1 балл.

Насчет субботы... На этой неделе ничего не будет, а на следующей начнется.
Вопросы можно также задавать по электронной почте.
Важная информация: я решил пойти Вам на встречу и сдвинул deadline до 19 00 Воскресенья.
Если пришлете дз раньше этого срока - я могу успеть указать на ошибки и дать возможность исправить.
Ближе к выходным я пришлю Вам следующее дз на тему пределов.
Удачи,
А.Логунов

PDF с заданием UPD