Матан, 1 семестр, 2014/15 — различия между версиями
Материал из SEWiki
(→Домашнее задание к 02.10.14) |
(→Домашнее задание к 02.10.14) |
||
Строка 43: | Строка 43: | ||
== Домашнее задание к 02.10.14 == | == Домашнее задание к 02.10.14 == | ||
− | + | # Найдите предел и <math>N(\varepsilon)</math> для последовательности | |
− | + | ## (1) <math>x_n=\frac{n^2+\sqrt{n}\sin(n)}{n^2+\cos(n^3)};</math> | |
− | + | ## (1) <math>x_n=\frac{\ln n}{\sqrt{n}};</math> | |
− | + | ## (1) <math>x_n=\frac{(n+1)(n+2) \dots (n+10)}{(n-1)(n-2) \dots (n-10)};</math> | |
− | + | ## (1) <math>x_n = n^{\frac{3}{2}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}).</math> | |
− | + | # | |
− | + | ## (1) Докажите, что последовательность <math>\sin(n+1/n)</math> не имеет предела; | |
− | + | ## (2) Докажите, что последовательность <math>\sin(n^3)</math> не имеет предела; | |
− | + | ## (3) При каких <math>c</math> последовательность <math>\sin(c\cdot 10^n)</math> имеет предел? | |
− | + | # (3) Последовательность чисел <math>x_n</math> такова, что <math>x_{n+1}-\frac{x_n}{2} \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>. Докажите, что <math>x_n \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>. | |
− | + | # (3) Последовательность <math>x_n</math> задана следующим образом: <math>x_0=1</math>, <math>x_1=2</math> и <math>x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n^2 x_{n-1}}</math> при <math>n>1</math>. Докажите, что последовательность <math>x_n</math> сходится и найдите ее предел. | |
− | + | # (3) Последовательность положительных чисел <math>a_n</math> такова, что для любых <math>m,n</math> выполнено неравенство <math>a_{m+n}\leq a_n + a_m</math>. Докажите, что последовательность <math>\frac{a_n}{n}</math> имеет предел. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | <math>x_n \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>. | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | при <math>n>1</math>. Докажите, что последовательность <math>x_n</math> сходится и найдите ее предел. | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | Докажите, что последовательность <math>\frac{a_n}{n}</math> имеет предел. | + | |
= Группа Александра Логунова = | = Группа Александра Логунова = |
Версия 11:32, 2 октября 2014
Содержание
Группа Фёдора Петрова
Домашнее задание на семестр
Отчётность: без понятия
- Существует ли биективный многочлен :
Домашнее задание к 11.09.14
Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.
- Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
- . Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
- либо , либо
- . Доказать, что существует такое, что существует существует бесконечно много натуральных таких, что ( - целая часть или округление вниз).
Домашнее задание к 18.09.14
Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.
Домашнее задание к 25.09.14
-
- (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).
- (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.
-
- (1) Докажите, что если и пространство сепарабельно, то пространство тоже сепарабельно.
- (1) Пусть --- последовательность подмножеств , такая что сепарабельны, а плотно в . Докажите, что сепарабельно.
- (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.
- (1) Пусть --- простое число. Для определим , где число представлено в виде , где и не делятся на . Положим . Докажите, что функция является метрикой на множестве .
- (4) Докажите, что если --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в (тем самым, не счетно).
- (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.
- (4) Докажите, что если и --- две метрики на множестве , такие что метрические пространства и сепарабельны, то метрическое пространство тоже сепарабельно.
- Найдите множество частичных пределов последовательности
- (2) ( --- дробная часть числа , то есть и --- целое число.)
- (3) .
Домашнее задание к 02.10.14
- Найдите предел и для последовательности
- (1)
- (1)
- (1)
- (1)
-
- (1) Докажите, что последовательность не имеет предела;
- (2) Докажите, что последовательность не имеет предела;
- (3) При каких последовательность имеет предел?
- (3) Последовательность чисел такова, что при . Докажите, что при .
- (3) Последовательность задана следующим образом: , и при . Докажите, что последовательность сходится и найдите ее предел.
- (3) Последовательность положительных чисел такова, что для любых выполнено неравенство . Докажите, что последовательность имеет предел.
Группа Александра Логунова
Домашнее задание к 02.10.14
Здравствуйте, дорогие студенты! ... По просьбам трудящихся дз стало меньше, чем в прошлый раз, но это лишь временная мера в связи с наличием старого дз, которое еще не все сдали. Напоминаю, что теперь deadline для старого Дз - до 19 00 воскресенья, а новое дз нужно сдать в ПИСЬМЕННОМ виде на следующей паре. В приложении также лежит разбор задачи про sin(n^2), которую разбирали в классе. Удачи, А. Логунов
Домашнее задание к 25.09.14
Каждая задача стоит от 1-го до 4-ех баллов. Рекомендуется решить все задачи, которые весят 1 - 2 балла. Остальные задачи считайте бонусными. В приложении лежит домашнее задание, в котором исправили нумерацию, и добавили условие про замкнутость в 7-ой задаче. Добавился пункт в 7-ой задаче, когда шары открытые, он оценивается в 1 балл.
Насчет субботы... На этой неделе ничего не будет, а на следующей начнется. Вопросы можно также задавать по электронной почте. Важная информация: я решил пойти Вам на встречу и сдвинул deadline до 19 00 Воскресенья. Если пришлете дз раньше этого срока - я могу успеть указать на ошибки и дать возможность исправить. Ближе к выходным я пришлю Вам следующее дз на тему пределов. Удачи, А.Логунов