Домашнее задание к 09.10.14, матан, 1 семестр

TeX, PDF

1. Пусть $x_{n}$ и $y_{n}$ --- последовательности вещественных чисел. Пусть $X=\lim \limits _{n\to +\infty }x_{n}$,$Y=\lim \limits _{n\to +\infty }y_{n}$, а функции $N_{x}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,N_{y}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ таковы, что для любого $\varepsilon >0$ при $n>N_{x}(\varepsilon )$ выполнено $|x_{n}-X|<\varepsilon$, а при $n>N_{y}(\varepsilon )$ выполнено $|y_{n}-Y|<\varepsilon$. Найдите предел $Z=\lim \limits _{n\to +\infty }z_{n}$ и функцию $N_{z}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ такую, что для любого $\varepsilon >0$ при $n>N_{z}(\varepsilon )$ выполнено $|z_{n}-Z|<\varepsilon$, если последовательность $z_{n}$ задана соотношением:
   1. (0.5) $z_{n}=x_{n}+y_{n}$;
   2. (0.5) $z_{n}=x_{n}^{2}$;
   3. (1) $z_{n}=x_{n}y_{n}$;
   4. (1) $z_{n}={\frac {1}{y_{n}}}$ (считать $Y\neq 0$);
   5. (1) $z_{n}={\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ (считать $Y\neq 0$);
   6. (1) $z_{n}=x_{n}^{2}y_{n}+y_{n}^{2}x_{n}$;
   7. (1) $z_{n}={\frac {x_{n}^{2}y_{n}+y_{n}^{2}x_{n}}{1+(x_{n}+y_{n})^{2}}}$;
2. (2 балла) Докажите, что последовательность $x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n}}$ имеет конечный предел.
3. (3 балла) Докажите, что последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению $x_{n+1}=x_{n}\sin x_{n}$, сходится.
4. (4 балла) Докажите, что если последовательность $x_{n}$ имеет предел $a$, то последовательность $y_{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}$ тоже имеет предел $a$.