Матан, 1 семестр, 2014/15

Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

1. Существует ли биективный многочлен $f(x,y)$:
   1. $\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z}$
   2. $\mathbb {Q} ^{2}\to \mathbb {Q}$

Домашнее задание к 11.09.14

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

1. 
   Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
2. $F\subseteq 2^{\mathbb {N} }$. Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
   1. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:$ либо $A\subseteq B$, либо $B\subseteq A$
   2. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:|A\cap B|<\infty$
3. $E\subseteq \mathbb {N} ,|E|=\infty$. Доказать, что существует $a\in \mathbb {R} ,a>1$ такое, что существует существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что $\left\lfloor {a^{n}}\right\rfloor \in E$ ($\left\lfloor x\right\rfloor$ - целая часть $x$ или округление вниз).

Домашнее задание к 18.09.14

Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

PDF с заданием

Домашнее задание к 25.09.14

1. а) (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).

   б) (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.

2. а) (1) Докажите, что если $X_{1}\subset X$ и пространство $(X,\rho )$ сепарабельно, то пространство $(X_{1},\rho )$ тоже сепарабельно.

  б) (1) Пусть $X_{n}$ --- последовательность подмножеств $(X,\rho )$, такая что $(X_{n},\rho )$ сепарабельны, а $\cup X_{n}$ плотно в $X$. 

Докажите, что $(X,\rho )$ сепарабельно.

3. (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.

4. (1) Пусть $p$ --- простое число. Для $x\in /mathbb{Q},x\neq 0$ определим $\|x\|_{p}=p^{-n}$, где число $x$ представлено в виде $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$, где $a,b,n\in /mathbb{Z}$ и $a,b$ не делятся на $p$. Положим $\|0\|_{p}=0$. Докажите, что функция $\rho _{p}(x,y)=\|x-y\|_{p}$ является метрикой на множестве $/mathbb{Q}$.

5. (4) Докажите, что если $X$ --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в $X$ (тем самым, $X$ не счетно).

6. (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.

7. (4) Докажите, что если $\rho _{1}$ и $\rho _{2}$ --- две метрики на множестве $X$, такие что метрические пространства $(X,\rho _{1})$ и $(X,\rho _{2})$ сепарабельны, то метрическое пространство $(X,\rho _{1}+\rho _{2})$ тоже сепарабельно.

8. Найдите множество частичных пределов последовательности

а) (2) $\{{\sqrt {n}}\}$ ($\{x\}=x-[x]$ --- дробная часть числа $x$, то есть $0\leq \{x\}<1$ и $[x]=x-\{x\}$ --- целое число.)

б) (3) $\sin(\pi {\sqrt {2}}n)$.

Группа Александра Логунова

Домашнее задание к 25.09.14

Задачи нужно сдать на следующем занятии. Каждая задача стоит от 1-го до 4-ех баллов. Рекомендуется решить все задачи, которые весят 1 - 2 балла. Остальные задачи считайте бонусными.

PDF с заданием