Алгебраические структуры 2014

Преподаватель (лекции и практика): Горячко Евгений Евгеньевич

Программа курса

1. Структуры, гомоморфизмы структур. Моноиды. Группы. Числовые группы, симметрические группы и группы автоморфизмов графов.
2. Подгруппы, классы смежности. Лемма о разбиениях на классы смежности, теорема Лагранжа. Порядок элемента. Лемма о порядке элемента.
3. Циклические группы. Теорема об описании циклических групп. Дискретный логарифм. Две теоремы о подгруппах циклической группы.
4. Нормальные подгруппы. Сопряжение элементов. Разбиение на классы сопряженности. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме для групп.
5. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении. Теорема о разложении конечной циклической группы в прямое произведение.
6. Кольца. Числовые кольца, кольца многочленов. Области целостности. Поля. Подкольца. Идеалы, факторкольца. Прямое произведение колец.
7. Описание $\mathrm {gcd}$ и $\mathrm {lcm}$ в кольце $\mathbb {Z}$ в терминах идеалов. Соотношение и коэффициенты Безу, алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках.
8. Функция Эйлера. Лемма об обратимых остатках. Теорема Эйлера. Теорема о функции Эйлера. Теорема о группах обратимых остатков.
9. Критерий существования дискретного логарифма по модулю $n$. Тесты Ферма, Эйлера и Миллера–Рабина. Числа Кармайкла. Алгоритм RSA.
10. Симметрические группы. Транспозиции. Инверсии. Теорема о разложении перестановки в произведение фундаментальных транспозиций.
11. Знак перестановки и знакопеременные группы. Цикловый тип. Теорема об описании классов сопряженности в симметрических группах.

Основные материалы

• Основные обозначения]
• Основные утверждения

Список литературы

Основная литература

• Винберг Э.Б. Курс Алгебры
• Кострикин А.И. Введение в агебру. Том 1.
• Ленг С. Алгебра

Первые две книги с разжеванным материалом, третья — с сжатым, но многочисленным.

Дополнительная литература

• Кострикин А.И. Введение в агебру. Том 3.
• Верещагин Н.К., Шень А.Х. Языки и исчисления