Версия 17:18, 21 сентября 2014

Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

1. Существует ли биективный многочлен ${\displaystyle f(x,y)}$:
   1. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} }$
   2. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}\to \mathbb {Q} }$

Домашнее задание к 11.09.14

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

1. 
   Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
2. ${\displaystyle F\subseteq 2^{\mathbb {N} }}$. Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
   1. ${\displaystyle \forall A,B\subseteq F,A\neq B:}$ либо ${\displaystyle A\subseteq B}$, либо ${\displaystyle B\subseteq A}$
   2. ${\displaystyle \forall A,B\subseteq F,A\neq B:|A\cap B|<\infty }$
3. ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {N} ,|E|=\infty }$. Доказать, что существует ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a>1}$ такое, что существует существует бесконечно много натуральных ${\displaystyle n}$ таких, что ${\displaystyle \left\lfloor {a^{n}}\right\rfloor \in E}$ (${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ - целая часть ${\displaystyle x}$ или округление вниз).

Домашнее задание к 18.09.14

Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

PDF с заданием

Домашнее задание к 25.09.14

1. а) (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).

   б) (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.

2. а) (1) Докажите, что если ${\displaystyle X_{1}\subset X}$ и пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ сепарабельно, то пространство ${\displaystyle (X_{1},\rho )}$ тоже сепарабельно.

  б) (1) Пусть ${\displaystyle X_{n}}$ --- последовательность подмножеств ${\displaystyle (X,\rho )}$, такая что ${\displaystyle (X_{n},\rho )}$ сепарабельны, а ${\displaystyle \cup X_{n}}$ плотно в ${\displaystyle X}$. 

Докажите, что ${\displaystyle (X,\rho )}$ сепарабельно.

3. (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.

4. (1) Пусть ${\displaystyle p}$ --- простое число. Для ${\displaystyle x\in /mathbb{Q},x\neq 0}$ определим ${\displaystyle \|x\|_{p}=p^{-n}}$, где число ${\displaystyle x}$ представлено в виде ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, где ${\displaystyle a,b,n\in /mathbb{Z}}$ и ${\displaystyle a,b}$ не делятся на ${\displaystyle p}$. Положим ${\displaystyle \|0\|_{p}=0}$. Докажите, что функция ${\displaystyle \rho _{p}(x,y)=\|x-y\|_{p}}$ является метрикой на множестве ${\displaystyle /mathbb{Q}}$.

5. (4) Докажите, что если ${\displaystyle X}$ --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в ${\displaystyle X}$ (тем самым, ${\displaystyle X}$ не счетно).

6. (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.

7. (4) Докажите, что если ${\displaystyle \rho _{1}}$ и ${\displaystyle \rho _{2}}$ --- две метрики на множестве ${\displaystyle X}$, такие что метрические пространства ${\displaystyle (X,\rho _{1})}$ и ${\displaystyle (X,\rho _{2})}$ сепарабельны, то метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho _{1}+\rho _{2})}$ тоже сепарабельно.

8. Найдите множество частичных пределов последовательности

а) (2) ${\displaystyle \{{\sqrt {n}}\}}$ (${\displaystyle \{x\}=x-[x]}$ --- дробная часть числа ${\displaystyle x}$, то есть ${\displaystyle 0\leq \{x\}<1}$ и ${\displaystyle [x]=x-\{x\}}$ --- целое число.)

б) (3) ${\displaystyle \sin(\pi {\sqrt {2}}n)}$.

Группа Александра Логунова

Домашнее задание к 25.09.14

Задачи нужно сдать на следующем занятии. Каждая задача стоит от 1-го до 4-ех баллов. Рекомендуется решить все задачи, которые весят 1 - 2 балла. Остальные задачи считайте бонусными.

PDF с заданием