Матан, 1 семестр, 2014/15 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
(Группа Фёдора Петрова)
Строка 23: Строка 23:
  
 
[[Медиа:Dz2.pdf|PDF с заданием]]
 
[[Медиа:Dz2.pdf|PDF с заданием]]
 +
 +
== Домашнее задание к 25.09.14 ==
 +
 +
1. а) (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).
 +
 +
    б) (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.
 +
 +
2. а) (1) Докажите, что если $X_1\subset X$ и пространство $(X,\rho)$ сепарабельно, то пространство $(X_1,\rho)$ тоже сепарабельно.
 +
 
 +
  б) (1) Пусть $X_n$ --- последовательность подмножеств $(X,\rho)$, такая что $(X_n, \rho)$ сепарабельны, а $\cup X_n$ плотно в $X$.
 +
Докажите, что $(X,\rho)$ сепарабельно.
 +
 +
3. (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.
 +
 +
4. (1) Пусть $p$ --- простое число. Для $x \in \mathbb{Q}, x \ne 0$ определим $\|x\|_p=p^{-n}$, где число $x$ представлено в виде $x=p^n\frac{a}{b}$, где $a, b, n \in \mathbb{Z}$ и $a,b$ не делятся на $p$. Положим $\|0\|_p=0$. Докажите, что функция $\rho_p(x,y)=\|x-y\|_p$ является метрикой на множестве $\mathbb{Q}$.
 +
 +
5. (4) Докажите, что если $X$ --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в $X$ (тем самым, $X$ не счетно).
 +
 +
6. (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств.
 +
Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.
 +
 +
7. (4) Докажите, что если $\rho_1$ и $\rho_2$ --- две метрики на множестве $X$, такие что метрические пространства $(X,\rho_1)$ и $(X,\rho_2)$ сепарабельны, то метрическое пространство $(X,\rho_1+\rho_2)$ тоже сепарабельно.
 +
 +
8. Найдите множество частичных пределов последовательности
 +
 +
а) (2) $\{\sqrt{n}\}$ ($\{x\}=x-[x]$ --- дробная часть числа $x$, то есть $0\leq \{x\}<1$ и $[x]=x-\{x\}$ --- целое число.)
 +
 +
б) (3) $\sin (\pi \sqrt{2} n)$.
  
 
= Группа Александра Логунова =
 
= Группа Александра Логунова =
  
 
[[Медиа:Dz3.pdf|PDF с заданием]]
 
[[Медиа:Dz3.pdf|PDF с заданием]]

Версия 15:14, 19 сентября 2014

Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

  1. Существует ли биективный многочлен :

Домашнее задание к 11.09.14

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

  1. Calculus 2014 140911 b.svg
    Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
  2. . Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
    1. либо , либо
  3. . Доказать, что существует такое, что существует существует бесконечно много натуральных таких, что ( - целая часть или округление вниз).

Домашнее задание к 18.09.14

Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

PDF с заданием

Домашнее задание к 25.09.14

1. а) (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).
   б) (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.

2. а) (1) Докажите, что если $X_1\subset X$ и пространство $(X,\rho)$ сепарабельно, то пространство $(X_1,\rho)$ тоже сепарабельно.

  б) (1) Пусть $X_n$ --- последовательность подмножеств $(X,\rho)$, такая что $(X_n, \rho)$ сепарабельны, а $\cup X_n$ плотно в $X$. 

Докажите, что $(X,\rho)$ сепарабельно.

3. (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.

4. (1) Пусть $p$ --- простое число. Для $x \in \mathbb{Q}, x \ne 0$ определим $\|x\|_p=p^{-n}$, где число $x$ представлено в виде $x=p^n\frac{a}{b}$, где $a, b, n \in \mathbb{Z}$ и $a,b$ не делятся на $p$. Положим $\|0\|_p=0$. Докажите, что функция $\rho_p(x,y)=\|x-y\|_p$ является метрикой на множестве $\mathbb{Q}$.

5. (4) Докажите, что если $X$ --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в $X$ (тем самым, $X$ не счетно).

6. (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.

7. (4) Докажите, что если $\rho_1$ и $\rho_2$ --- две метрики на множестве $X$, такие что метрические пространства $(X,\rho_1)$ и $(X,\rho_2)$ сепарабельны, то метрическое пространство $(X,\rho_1+\rho_2)$ тоже сепарабельно.

8. Найдите множество частичных пределов последовательности

а) (2) $\{\sqrt{n}\}$ ($\{x\}=x-[x]$ --- дробная часть числа $x$, то есть $0\leq \{x\}<1$ и $[x]=x-\{x\}$ --- целое число.)

б) (3) $\sin (\pi \sqrt{2} n)$.

Группа Александра Логунова

PDF с заданием