Версия 15:14, 19 сентября 2014

Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

1. Существует ли биективный многочлен ${\displaystyle f(x,y)}$:
   1. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} }$
   2. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}\to \mathbb {Q} }$

Домашнее задание к 11.09.14

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

1. 
   Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
2. ${\displaystyle F\subseteq 2^{\mathbb {N} }}$. Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
   1. ${\displaystyle \forall A,B\subseteq F,A\neq B:}$ либо ${\displaystyle A\subseteq B}$, либо ${\displaystyle B\subseteq A}$
   2. ${\displaystyle \forall A,B\subseteq F,A\neq B:|A\cap B|<\infty }$
3. ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {N} ,|E|=\infty }$. Доказать, что существует ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a>1}$ такое, что существует существует бесконечно много натуральных ${\displaystyle n}$ таких, что ${\displaystyle \left\lfloor {a^{n}}\right\rfloor \in E}$ (${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ - целая часть ${\displaystyle x}$ или округление вниз).

Домашнее задание к 18.09.14

Отчётность: в рамках усиления контроля предлагается его писать и сдавать в начале занятия.

PDF с заданием

Домашнее задание к 25.09.14

1. а) (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).

   б) (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.

2. а) (1) Докажите, что если $X_1\subset X$ и пространство $(X,\rho)$ сепарабельно, то пространство $(X_1,\rho)$ тоже сепарабельно.

  б) (1) Пусть $X_n$ --- последовательность подмножеств $(X,\rho)$, такая что $(X_n, \rho)$ сепарабельны, а $\cup X_n$ плотно в $X$. 

Докажите, что $(X,\rho)$ сепарабельно.

3. (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.

4. (1) Пусть $p$ --- простое число. Для $x \in \mathbb{Q}, x \ne 0$ определим $\|x\|_p=p^{-n}$, где число $x$ представлено в виде $x=p^n\frac{a}{b}$, где $a, b, n \in \mathbb{Z}$ и $a,b$ не делятся на $p$. Положим $\|0\|_p=0$. Докажите, что функция $\rho_p(x,y)=\|x-y\|_p$ является метрикой на множестве $\mathbb{Q}$.

5. (4) Докажите, что если $X$ --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в $X$ (тем самым, $X$ не счетно).

6. (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.

7. (4) Докажите, что если $\rho_1$ и $\rho_2$ --- две метрики на множестве $X$, такие что метрические пространства $(X,\rho_1)$ и $(X,\rho_2)$ сепарабельны, то метрическое пространство $(X,\rho_1+\rho_2)$ тоже сепарабельно.

8. Найдите множество частичных пределов последовательности

а) (2) $\{\sqrt{n}\}$ ($\{x\}=x-[x]$ --- дробная часть числа $x$, то есть $0\leq \{x\}<1$ и $[x]=x-\{x\}$ --- целое число.)

б) (3) $\sin (\pi \sqrt{2} n)$.

Группа Александра Логунова

PDF с заданием