Алгебра phys 1 весна

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/1.

Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/2.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание второго семестра курса алгебры

6   Векторные пространства

• 6.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
  Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
  Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
• 6.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
  Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
  порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
• 6.3  Размерность, координаты, замена координат
  Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
  оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
• 6.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
  Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
  прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
  ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.

7   Линейные операторы (часть 1)

• 7.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
  Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
  Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
• 7.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
  Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
  полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма $\mathrm{vol}^e$. Теорема о формах объема.
• 7.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
  Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа $\mathrm{SL}(V)$. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
  присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
  Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.

8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

• 8.1  ¯-Билинейные формы
  Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
  формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
• 8.2  ¯-Квадратичные формы
  ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем $\mathbb {C}$. Гиперповерхности
  второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
• 8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
  Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
  Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
• 8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
  Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
  Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.

9   Геометрия в векторных пространствах над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

• 9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
  Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном
  дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с
  формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм.
• 9.2  Предгильбертовы пространства
  Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
  Метрика. Теорема о расстояниях и проекциях. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства.
• 9.3  Ориентация, объем, векторное произведение
  Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в
  координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное
  произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.

10   Алгебры

• 10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с $1$. Примеры инъективных гомоморфизмов
  $\mathbb {R}$-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебра многочленов от свободных переменных. Одночлены.
  Однородные многочлены. Алгебра многочленов от коммутирующих переменных. Алгебра многочленов от антикоммутирующих переменных.
• 10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  Алгебры Ли. Алгебра Ли $A^{(-)}$. Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для
  алгебр Ли. Примеры изоморфизмов $\mathbb {R}$-алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.

Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры

Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры

Информация о коллоквиуме

Вопросы к коллоквиуму по первой половине второго семестра

1. Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы.
2. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством. Линейные комбинации.
3. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства.
4. Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса.
5. Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Теорема о существовании базиса.
6. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
7. Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах.
8. Столбец координат вектора. Матрица линейного оператора. Теорема о матрице линейного оператора.
9. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
10. Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве.
11. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве.
12. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат ковектора. Преобразование координат ковекторов.
13. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
14. Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга.
15. Элементарные преобразования. Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы.
16. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
17. Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм.
18. Симметричные и антисимметричные полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах.
19. Формы объема. Форма $\mathrm{vol}^e$. Теорема о формах объема.
20. Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа $\mathrm{SL}(V)$.
21. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице.
22. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре.
23. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора. Лемма о спектре.
24. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине второго семестра

1. Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама.
2. ¯-Симметричные и ¯-антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
3. ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем $\mathbb {C}$.
4. Гиперповерхности второго порядка. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
5. Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы.
6. Оператор диез (подъем индекса). Теорема о базисах и невырожденных формах.
7. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
8. Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе.
9. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Лемма об ортогональном проекторе.
10. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
11. Положительно и отрицательно определенные формы и матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа.
12. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра.
13. Теорема о классификации пространств с формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка.
14. Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма.
15. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы. Метрика.
16. Теорема о расстояниях и проекциях. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства.
17. Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема.
18. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в координатах. Лемма об объеме и матрице Грама.
19. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.
20. Векторное произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
21. Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с $1$.
22. Примеры инъективных гомоморфизмов $\mathbb {R}$-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры.
23. Алгебра многочленов от свободных переменных. Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих и антикоммутирующих переменных.
24. Алгебры Ли. Алгебра Ли $A^{(-)}$. Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли.
25. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для алгебр Ли.
26. Примеры изоморфизмов $\mathbb {R}$-алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.

Правила проведения экзамена

• В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4), пишущие
  принадлежности и список вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и$/$или подробный план
  курса, так как их будет можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
• Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и$/$или подробный план курса на специальном
  столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 13, второй номер будет от 14 до 26) и затем
  начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
  «столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций и$/$или подробный план курса.
• Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
  если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи).
• После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
  дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
  половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
• При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
  использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).