Алгебра phys 1 февраль–март
Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры
| ||||||||||||
|
6 Векторные пространства
6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
- Векторное пространство над полем — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из . Свойства операций в векторном пространстве.
- Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
- Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): — вект. пространство. Кольцо , группа .
- Подпростр.-во: . Подпр.-во, порожд. мн.-вом : — наименьш. относ.-но подпр.-во, содержащ. .
- Линейная комбинация элементов множества : . Утверждение: .
- Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре линейного оператора.
Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) — инъекция, если и только если . - Матричная запись системы из линейных уравн.-й от переменных: (, , ). Однородная система: .
- Аффинные операторы: , где . Аффинные подпростр.-ва: , где ( — направляющее подпр.-во для ).
6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
- — независимое мн.-во: . — порождающее мн.-во: . Базис — независ. порожд. мн.-во.
- Стандартные базисы пространств и : и . Стандартный базис простр.-ва : .
- Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) — базис пространства ;
(у2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
(у3) для любого вектора существует единственная такая финитная функция , что ;
(у4) — максимальное независимое множество (то есть — независимое мн.-во и для любых мн.-во не является независимым);
(у5) — минимальное порождающее множество (то есть — порождающее мн.-во и для любых мн.-во не является порождающим). - Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
тогда, если — независимое множество и , то , и, если и — базисы пространства , то . - Теорема о существовании базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , — независимое подмножество в и
— порождающее подмножество в , а также в существует конечное порождающее подмножество; тогда
(1) существует такой базис пространства , что (и, значит, дополняя до базиса множество , получаем, что в существует базис);
(2) существует такой базис пространства , что (и, значит, выделяя базис из множества , получаем, что в существует базис). - Теорема об универсальности базиса. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над и — базис пространства ; тогда для любых
существует единственный такой , что (и, значит, — изоморфизм вект. пространств). - Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над , — базис пространства и ; тогда
(1) — инъекция, если и только если — инъекция и — независимое множество;
(2) — сюръекция, если и только если — порождающее множество;
(3) — изоморфизм, если и только если — инъекция и — базис.
6.3 Размерность, координаты, замена координат
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то . - Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов). - Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора: . Утверждение: . Изоморфизм векторных простр.-в .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) если , , и , то , а также отображение
— изоморфизм векторных пространств (и, значит, );
(2) если , , и , то . - Матрица замены координат (): . Пример: (, ). Утверждение: и .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобраз.-е матрицы линейн. оператора: ; то же в покомпонентной записи (, , ): .
6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
- Факторпространство: с фактороперациями (). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: .
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ;
(1') если , то ;
(2) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа). - Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
линейный оператор ; тогда
(1) если — базисы пространств соответственно, то —
базис пространства (и, значит, если дополнительно — изоморфизм, то — базис пространства );
(1') если , то ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "";
(4) если и , то (это формула Грассмана). - Внутренняя прямая сумма: . Лемма об инвариантном подпространстве. Прямая сумма матриц.
Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
(то есть — -инвариантное подпространство в ), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что . - Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора: .
- Утверждение: и . Изоморфизм . Преобр.-я при замене базиса: , и .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: если , то — изоморфизм вект. пр.-в.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкой кривой на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
7 Линейные операторы (часть 1)
7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
- Ранг линейного оператора : . Ранги матрицы по столбцам и по строкам: и .
- Утверждение: , и . Тензорное произв.-е вектора и ковектора : .
- Утверждение: , и . Теорема о свойствах ранга. Утверждение: .
Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, — векторные пространства над полем , и ; тогда
(1) и ;
(2) ;
(3) сущ.-т такие и , что (это теорема о приведении матрицы оператора к почти единичному виду)
(матричн. формулировка: для любых и сущ.-т такие и , что );
(4) (матричная формулировка: для любых и выполнено ). - Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): (, ). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): ().
- Элементарные преобр.-я над строками 1-го типа и 2-го типа: и . Элементарные преобр.-я над столбцами.
- Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Приведение матрицы к строго ступенч. виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства (и, значит, их количество равно ). - Метод Гаусса для реш.-я системы : прив.-е к ступенч. виду. Главные и свободные перем.-е. Фундаментальная система решений.
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
(1) и, если , то ;
(2) , а также, если , то , и, если , то
— аффинное подпространство в с направляющим подпространством .
7.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
- Пространства полилинейных операторов и . Пространства полилинейных форм и .
- Простр.-ва билинейных операторов и . Простр.-ва билинейных форм и . Примеры полилин. операт. и форм.
- Перестановка аргументов форм: . Действие группы : .
- Пространство симметричных полилинейных форм: .
- Пр.-во антисимм. полилин. форм: .
- Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) ;
(2) и, если
, то "" можно заменить на "". - Простр.-во форм объема: , где . Форма объема, связанная с упоряд. базисом : .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) , и для любых выполнено ;
(2) множество — базис пространства (и, значит, ) и для любых выполнено ;
(3) для любых и выполнено .
7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
- Определитель линейн. оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Утверждение: . Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: .
Теорема о свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда отображение
— гомоморфизм моноидов по умножению, а также . - Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Сравнение эффективности явных формул для нахождения , , и метода Гаусса.
Теорема о присоединенной матрице. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и, если , то (и, значит, ).Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ). - Собственные число и вектор лин. операт. : . Спектр лин. опер. : . Лемма о спектре.
Лемма о спектре. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда
и, если , то "" можно заменить на "". - Характеристический многочлен матрицы : . Характеристический многочлен лин. оператора : . Корректность опред.-я.
- Утверждение: . След лин. оператора : . Корректность опр.-я. Теорема о характеристическом многочлене.
Теорема о характеристическом многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
и, если и , то и .