Алгебра phys 1 февраль–март

2  Линейная алгебра

2.1  Векторные пространства

2.1.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем $K$ — абелева группа с умножением на скаляры из $K$, являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): $\mathrm {Hom} (V,Y)$ — векторное пространство. Кольцо $\mathrm {End} (V)$, группа $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)$.
• Подпространство: $U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U$. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом $D$: $\langle D\rangle \leq V\;\land \;\forall \,U\leq V\;{\bigl (}D\subseteq U\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq U{\bigr )}$.
• Утверждение: $\langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}$. Линейная комбинация элементов мн.-ва $D$: $\sum _{d\in D}f(d)\,d=f(d_{1})\,d_{1}+\ldots +f(d_{m})\,d_{m}$.
• Ядро и образ линейного оператора $a$: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,a$. Утверждение: $\mathrm {Ker} \,a\leq V$ и $\,\mathrm {Im} \,a\leq Y$. Теорема о слоях и ядре линейного оператора.

  Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) для любых $y\in Y$ и $v_{0}\in a^{-1}(y)$ выполнено $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$ (и, значит, $\{a^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,a\}=V/\,\mathrm {Ker} \,a$);
  (2) $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)$, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$.

• Матричная запись системы из $p$ линейных урав.-й от $n$ переменных: $a\cdot v=y$, где $v\in K^{n}$, $y\in K^{p}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$. Однородная система: $y=0$.
• Утверждение: пусть $a\cdot v_{0}=y$; тогда $\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{x\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}$. Линейные дифференц. уравнения и системы уравнений.

2.1.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы

• $C$ — независимое мн.-во: $\forall \,f\in \mathrm {FinFunc} (C,K)\;{\bigl (}\sum _{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0{\bigr )}$. $D$ — порождающее мн.-во: $V=\langle D\rangle$. Базис — независ. порожд. мн.-во.
• Стандартные базисы пространств $K^{n}$, $K_{n}$ и $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{{\underline {e}}_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,n\}\}$, $\{{\underline {e}}^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$ и $\{{\underline {e}}_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Теорема о свойствах базиса. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $B\subseteq V$; тогда следующие условия эквивалентны:
  (у1) $B$ — базис пространства $V$;
  (у2) отображение ${\Biggl (}\!{\begin{aligned}\,\mathrm {FinFunc} (B,K)&\to V\\f&\mapsto \sum _{b\in B}f(b)\,b\end{aligned}}\!{\Biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (у3) для любого вектора $v\in V$ существует единственная такая функция $f\in \mathrm {FinFunc} (B,K)$, что $v=\sum _{b\in B}f(b)\,b$;
  (у4) $B$ — независимое подмножество в $V$ и для любого вектора $v\in V\!\setminus \!B$ множество $B\cup \{v\}$ не является независимым подмножеством в $V$
  (то есть $B$ — максимальное независимое множество);
  (у5) $B$ — порождающее подмножество в $V$ и для любого вектора $b\in B$ множество $B\!\setminus \!\{b\}$ не является порождающим подмножеством в $V$
  (то есть $B$ — минимальное порождающее множество).
• Теорема об универсальности базиса. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $B$ — базис пространства $V$; тогда
  для любых $\alpha \in \mathrm {Func} (B,Y)$ существует единственный такой линейный оператор $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, что $a|_{B}=\alpha$ (и, значит, отображение
  ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Func} (B,Y)\\a&\mapsto a|_{B}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр.-ва над $K$, $B$ — базис пространства $V$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)$, если и только если $a(B)$ — независимое множество;
  (2) $a\in \mathrm {Surj} (V,Y)$, если и только если $a(B)$ — порождающее множество;
  (3) $a\in \mathrm {Iso} (V,Y)$, если и только если $a(B)$ — базис.
• Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $C,D\subseteq V$ и $|D|<\infty$; тогда
  (1) если $C$ — независимое множество и $C\subseteq \langle D\rangle$, то $|C|\leq |D|$;
  (2) если $C$ и $D$ — базисы пространства $V$, то $|C|=|D|$.
• Теорема о построении базиса. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $C,D\subseteq V$ и $|D|<\infty$, а также в пространстве $V$
  существует конечное порождающее подмножество; тогда
  (1) если $C$ — независимое множество, то существует такой базис $B$ пространства $V$, что $C\subseteq B$ (то есть $C$ можно дополнить до базиса);
  (2) если $D$ — порождающее множество, то существует такой базис $B$ пространства $V$, что $B\subseteq D$ (то есть из $D$ можно выделить базис);
  (3) в пространстве $V$ существует базис.

2.1.3  Размерность и координаты

• Размерность $\dim V$ пространства $V$: порядок (мощность) базиса. Примеры: $\dim K^{n}\!=\dim K_{n}\!=n$, $\dim \mathrm {Mat} (p,n,K)=n\,p$, $\dim K[x]=\infty$.
• Теорема о свойствах размерности. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) для любого независимого подмножества $C$ в $V$ выполнено $|C|\leq \dim V$ и, если $|C|=\dim V$, то $C$ — базис;
  (2) для любого порождающего подмножества $D$ в $V$ выполнено $|D|\geq \dim V$ и, если $|D|=\dim V$, то $D$ — базис;
  (3) для любого подпространства $U$ в $V$ выполнено $\dim U\leq \dim V$ и, если $\dim U=\dim V$, то $U=V$.
• Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $\dim V,\dim Y<\infty$; тогда
  (1) $\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing$, если и только если $\dim V\leq \dim Y$;
  (2) $\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing$, если и только если $\dim V\geq \dim Y$;
  (3) $V\cong Y$, если и только если $\dim V=\dim Y$;
  (4) если $\dim V=\dim Y$, то $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)$ (это принцип Дирихле для линейных операторов).
• Множество упорядоченных базисов: $\mathrm {OB} (V)$. Столбец координат вектора. Утверждение: $v=e\cdot v^{e}$. Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Матрица линейн. оператора $a$: $(a_{e}^{h})_{j}^{\bullet }=a(e_{j})^{h}$. Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.

  Теорема о матрице линейного оператора.
  (1) Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$, $n=\dim V<\infty$, $p=\dim Y<\infty$, $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $h\in \mathrm {OB} (Y)$; тогда
  $\forall \,a\in \mathrm {Hom} (V,Y),\,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}$, а также отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Mat} (p,n,K)&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\a&\mapsto {\bigl (}v\mapsto h\cdot a\cdot v^{e}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ —
  взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  (2) Пусть $K$ — поле, $V,X,Z$ — векторные пространства над полем $K$, $\dim V,\dim X,\dim Z<\infty$, $e\in \mathrm {OB} (V)$, $f\in \mathrm {OB} (X)$ и $g\in \mathrm {OB} (Z)$,
  а также $a\in \mathrm {Hom} (V,X)$ и $b\in \mathrm {Hom} (X,Z)$; тогда $(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$.

• Матрицы замены координат и замены базиса ($e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$): $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$ и $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}$. Пример: $\mathrm {c} _{e}^{\underline {e}}\!=e$. Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$, $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}$.
• Преобразование столбца координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$; то же в покомпонентной записи: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$. Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$.
• Преобразование матрицы линейного оператора: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$; то же в покомпонентной записи (если $a\in \mathrm {End} (V)$): $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$.

2.1.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство

• Факторпростр.-во: $V/U$ с фактороперациями ($U\leq V$). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $K^{n}\!/\langle {\underline {e}}_{i}\rangle \cong K^{n-1}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a$.

• Теорема о факторпространстве. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $U\leq V$, $A$ — базис пр.-ва $U$, $B$ — базис пр.-ва $V$ и $A\subseteq B$; тогда
  (1) все классы смежности $b+U$, где $b\in B\!\setminus \!A$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $V/U$;
  (2) если $\dim V<\infty$, то $\dim V/U=\dim V-\dim U$;
  (3) если $\dim V<\infty$, $Y$ — вект. пр.-во над $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, то $\dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V$ (это теорема о размерностях ядра и образа).
• Прямая сумма $U\oplus W$: $U\times W$ с покомпонентными операциями. Обобщение ($I$ — мн.-во): $\bigoplus _{i\in I}V_{i}=\{f\in \mathrm {FinFunc} (I,\bigcup _{i\in I}V_{i})\mid \forall \,i\in I\;{\bigl (}f(i)\in V_{i}{\bigr )}\}$.
• Теорема о прямой сумме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k}\leq V$; обозначим через $\mathrm {add}$
  отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}&\to V\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}+\ldots +v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) если $\mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)$ и $B_{1},\ldots ,B_{k}$ — базисы пространств $V_{1},\ldots ,V_{k}$ соответственно, то множества $B_{1},\ldots ,B_{k}$ попарно
  не пересекаются и $B_{1}\cup \ldots \cup B_{k}$ — базис пространства $V$;
  (2) следующие условия эквивалентны: (у1) $\mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)$, (у2) $\forall \,v\in V\;\exists !\,v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\;{\bigl (}v=v_{1}+\ldots +v_{k}{\bigr )}$ и
  (у3) $\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}V_{i}\cap (V_{1}+\ldots +V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots +V_{k})=\{0\}{\bigr )}\,\land \,V=V_{1}+\ldots +V_{k}$;
  (3) если $\dim V<\infty$, то след. усл.-я эквивалентны: (у1) $\mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)$, (у2) $\forall \,v\in V\;\exists !\,v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\;{\bigl (}v=v_{1}+\ldots +v_{k}{\bigr )}$ и
  (у3) $\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}V_{i}\cap (V_{1}+\ldots +V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots +V_{k})=\{0\}{\bigr )}\,\land \,\dim V=\dim V_{1}+\ldots +\dim V_{k}$;
  (4) если $U,W\leq V$ и $\dim U,\dim W<\infty$, то $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ (это формула Грассмана).
• Внутренняя прямая сумма: $V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)$. Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма.

  Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное простр.-во над полем $K$, $n=\dim V<\infty$,
  $a\in \mathrm {End} (V)$, $U\leq V$ и $a(U)\subseteq U$ (то есть $U$ — $a$-инвариантное подпространство), а также $n'=\dim U$ и $n''=n-n'$; тогда
  (1) существуют такие $e\in \mathrm {OB} (V)$, $a'\in \mathrm {Mat} (n',K)$, $a''\in \mathrm {Mat} (n'',K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (n',n'',K)$, что $a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$;
  (2) если $W\leq V$, $V=U\oplus W$ и $a(W)\subseteq W$, то существуют такие $e\in \mathrm {OB} (V)$, $a'\in \mathrm {Mat} (n',K)$ и $a''\in \mathrm {Mat} (n'',K)$, что $a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$.

• Двойственное пространство: $V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)$. Двойственный базис: $e^{j}=e_{j}^{*}={\bigl (}v\mapsto (v^{e})^{j}{\bigr )}$. Столбец $e^{*}\!={\biggl (}{\begin{smallmatrix}e^{1}\\\vdots \\e^{n}\end{smallmatrix}}{\biggr )}$. Строка координат ковектора.
• Утверждение: $\lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}$. Изоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K_{n}\!\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Преобразования при замене базиса: $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ и $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$, а также ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$.
• Двойственный оператор ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$): ${\biggl (}\!{\begin{aligned}a^{*}\colon Y^{*}\!&\to V^{*}\\\xi &\mapsto \xi \circ a\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Утверждение: пусть $\dim V<\infty$; тогда ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to V^{**}\\v&\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм.

СВОДНАЯ ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$)
Инвариантный объект	Координаты относительно базиса	Преобразование координат при замене базиса	Пример использования в геометрии и физике
вектор $v$ — элемент пространства $V$ (тензор типа $(1,0)$ над $V$)	${\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$	скорость в точке гладкого пути на многообразии
ковектор $\lambda$ — элемент пространства $V^{*}$ (тензор типа $(0,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}V^{*}\!&\to K_{n}\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$	дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии
эндоморфизм $a$ — элемент пространства $\mathrm {End} (V)$ (тензор типа $(1,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм колец и векторных пространств)	матричная запись: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}{\Bigr )}\!$	дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Элементарные преобразования, метод Гаусса, ранг линейного оператора

• Элементарные матрицы: трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c{\underline {e}}_{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$, псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1){\underline {e}}_{i}^{i}\mid c\in K^{\times }\!,\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элемент. преобразования над строками 1-го и 2-го типов: $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c{\underline {e}}_{i}^{k})\cdot a$ и $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1){\underline {e}}_{i}^{i})\cdot a$. Элемент. преобразования над столбцами.
• Ступенчатые и строго ступенчатые по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть $K$ — поле, $p,n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) существуют такие $l\in \mathbb {N} _{0}$ и элементарные матрицы $g_{1},\ldots ,g_{l}$ размера $p\times p$ над полем $K$, что $g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a$ — ступенчатая матрица;
  (2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства $\langle a_{\bullet }^{1},\ldots ,a_{\bullet }^{p}\rangle$;
  (3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно $\dim \,\langle a_{\bullet }^{1},\ldots ,a_{\bullet }^{p}\rangle$ (и, значит, не зависит от матриц $g_{1},\ldots ,g_{l}$).

• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства $\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}$.
• Ранг линейного оператора $a$: $\mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a$. Ранги матрицы $a$ по столбцам и по строкам: $\mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1}^{\bullet },\ldots ,a_{n}^{\bullet }\rangle$ и $\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a_{\bullet }^{1},\ldots ,a_{\bullet }^{p}\rangle$.
• Теорема о свойствах ранга оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. простр.-ва над полем $K$, $\dim V,\dim Y<\infty$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $h\in \mathrm {OB} (Y)$ выполнено $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})$;
  (2) $\mathrm {rk} (a)\leq \dim V$ и $\mathrm {rk} (a)=\dim V\,\Leftrightarrow \,a\in \mathrm {Inj} (V,Y)$, а также $\mathrm {rk} (a)\leq \dim Y$ и $\mathrm {rk} (a)=\dim Y\,\Leftrightarrow \,a\in \mathrm {Surj} (V,Y)$;
  (3) для любых обратимых операторов $g\in \mathrm {GL} (Y)$ и $g'\in \mathrm {GL} (V)$ выполнено $\mathrm {rk} (g\circ a\circ g')=\mathrm {rk} (a)$.
• Теоремы о свойствах ранга матрицы. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) $\mathrm {rk} (a)$ равен рангу линейного оператора ${\biggl (}\!{\begin{aligned}K^{n}\!&\to K^{p}\\v&\mapsto a\cdot v\end{aligned}}\!{\biggr )}$;
  (2) $\mathrm {rk} (a)\leq n$ и $\mathrm {rk} (a)=n\,\Leftrightarrow \,\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}=\{0\}$, а также $\mathrm {rk} (a)\leq p$ и $\mathrm {rk} (a)=p\,\Leftrightarrow \,\{a\cdot v\mid v\in K^{n}\}=K^{p}$;
  (3) для любых обратимых матриц $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$ выполнено $\mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)$;
  (4) существуют такие обратимые матрицы $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g\cdot a\cdot g'={\underline {e}}_{1}^{1}+\ldots +{\underline {e}}_{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$;
  (5) $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})$ (то есть ранги матрицы $a$ по столбцам и по строкам равны).
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $y\in K^{p}$; тогда
  (1) $\mathrm {rk} (a)\leq \mathrm {rk} ((a\;\,y))\leq n$ и $\dim\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}=n-\mathrm {rk} (a)$;
  (2) если $\mathrm {rk} (a)<\mathrm {rk} ((a\;\,y))$, то $\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=y\}=\varnothing$;
  (3) если $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))$, то $\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=y\}$ — класс смежности пространства $K^{n}$ по подпространству $\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}$.