Алгебра phys 1 февраль–март

2  Линейная алгебра

2.1  Векторные пространства

2.1.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем $K$ — абелева группа с умножением на скаляры из $K$, являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): $\mathrm {Hom} (V,Y)$ — векторное пространство. Кольцо $\mathrm {End} (V)$, группа $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)$.
• Подпространство: $U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U$. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом $D$: $\langle D\rangle \leq V\;\land \;\forall \,U\leq V\;{\bigl (}D\subseteq U\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq U{\bigr )}$.
• Утверждение: $\langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}$. Линейная комбинация элементов мн.-ва $D$: $\sum _{d\in D}f(d)\,d=f(d_{1})\,d_{1}+\ldots +f(d_{m})\,d_{m}$.
• Ядро и образ линейного оператора $a$: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,a$. Утверждение: $\mathrm {Ker} \,a\leq V$ и $\,\mathrm {Im} \,a\leq Y$. Теорема о слоях и ядре линейного оператора.

  Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) для любых $y\in Y$ и $v_{0}\in a^{-1}(y)$ выполнено $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$ (и, значит, $\{a^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,a\}=V/\,\mathrm {Ker} \,a$);
  (2) $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)$, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$.

• Матричная запись системы из $p$ линейных урав.-й от $n$ переменных: $a\cdot x=y$, где $x\in K^{n}$, $y\in K^{p}$, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$. Однородная система: $y=0$.
• Утверждение: пусть $a\cdot x_{0}=y$; тогда $\{x\in K^{n}\!\mid a\cdot x=y\}=x_{0}+\{x\in K^{n}\!\mid a\cdot x=0\}$. Линейные дифференц. уравнения и системы уравнений.

2.1.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы

• $C$ — независимое мн.-во: $\forall \,f\in \mathrm {FinFunc} (C,K)\;{\bigl (}\sum _{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0{\bigr )}$. $D$ — порождающее мн.-во: $V=\langle D\rangle$. Базис — независ. порожд. мн.-во.
• Стандартные базисы пространств $K^{n}$, $K_{n}$ и $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{{\underline {e}}_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,n\}\}$, $\{{\underline {e}}^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$ и $\{{\underline {e}}_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Теорема о свойствах базиса. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $B\subseteq V$; тогда следующие условия эквивалентны:
  (у1) $B$ — базис пространства $V$;
  (у2) отображение ${\Biggl (}\!{\begin{aligned}\,\mathrm {FinFunc} (B,K)&\to V\\f&\mapsto \sum _{b\in B}f(b)\,b\end{aligned}}\!{\Biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (у3) для любого вектора $v\in V$ существует единственная такая функция $f\in \mathrm {FinFunc} (B,K)$, что $v=\sum _{b\in B}f(b)\,b$;
  (у4) $B$ — независимое подмножество в $V$ и для любого вектора $v\in V\!\setminus \!B$ множество $B\cup \{v\}$ не является независимым подмножеством в $V$
  (то есть $B$ — максимальное независимое подмножество в $V$);
  (у5) $B$ — порождающее подмножество в $V$ и для любого вектора $b\in B$ множество $B\!\setminus \!\{b\}$ не является порождающим подмножеством в $V$
  (то есть $B$ — минимальное порождающее подмножество в $V$).
• Теорема об универсальности базиса. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $B$ — базис пространства $V$; тогда
  для любых $\alpha \in \mathrm {Func} (B,Y)$ существует единственный такой линейный оператор $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, что $a|_{B}=\alpha$ (и, значит, отображение
  ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Func} (B,Y)\\a&\mapsto a|_{B}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр.-ва над $K$, $B$ — базис пространства $V$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)$, если и только если $a(B)$ — независимое подмножество в $Y$;
  (2) $a\in \mathrm {Surj} (V,Y)$, если и только если $a(B)$ — порождающее подмножество в $Y$;
  (3) $a\in \mathrm {Iso} (V,Y)$, если и только если $a(B)$ — базис пространства $Y$.
• Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $C,D\subseteq V$ и $|D|<\infty$; тогда
  (1) если $C$ — независимое подмножество в $V$ и $C\subseteq \langle D\rangle$, то $|C|\leq |D|$;
  (2) если $C$ и $D$ — базисы пространства $V$, то $|C|=|D|$.
• Теорема о построении базиса. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $C,D\subseteq V$ и $|D|<\infty$, а также в пространстве $V$
  существует конечное порождающее подмножество; тогда
  (1) если $C$ — независимое подмн.-во в $V$, то существует такой базис $B$ пространства $V$, что $C\subseteq B$ (то есть $C$ можно дополнить до базиса);
  (2) если $D$ — порождающее подмн.-во в $V$, то существует такой базис $B$ пространства $V$, что $B\subseteq D$ (то есть из $D$ можно выделить базис);
  (3) в пространстве $V$ существует базис.

2.1.3  Размерность и координаты

• Размерность $\dim V$ пространства $V$: порядок (мощность) базиса. Примеры: $\dim K^{n}\!=\dim K_{n}\!=n$, $\dim \mathrm {Mat} (p,n,K)=n\,p$, $\dim K[x]=\infty$.
• Теорема о свойствах размерности. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное простр.-во над полем $K$, $\dim V<\infty$, $C$ — независимое подмножество в $V$,
  $D$ — порождающее подмножество в $V$ и $U\leq V$; тогда
  (1) $|C|\leq \dim V$ и, если $|C|=\dim V$, то $C$ — базис пространства $V$;
  (2) $|D|\geq \dim V$ и, если $|D|=\dim V$, то $D$ — базис пространства $V$;
  (3) $\dim U\leq \dim V$ и, если $\dim U=\dim V$, то $U=V$.
• Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $\dim V,\dim Y<\infty$; тогда
  (1) $\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing$, если и только если $\dim V\leq \dim Y$;
  (2) $\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing$, если и только если $\dim V\geq \dim Y$;
  (3) $V\cong Y$, если и только если $\dim V=\dim Y$;
  (4) если $\dim V=\dim Y$, то $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)$ (это принцип Дирихле для линейных операторов).
• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: $v=e\cdot v^{e}$. Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Матрица гомоморфизма: $(a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}$. Утверждение: $a(e)=h\cdot a_{e}^{h}$ и $\forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}$. Утверждение: $(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$.
• Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Изоморфизм колец и векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Матрица замены координат: $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$. Матрица замены базиса: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}$. Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}$.
• Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Преобразование координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$. Покомпонентная запись: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Покомпонентная запись (если $a$ — эндоморфизм): $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$.