Алгебраические структуры 5 2015

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

2  Билинейная и полилинейная алгебра

2.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

2.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры билинейных форм: $(v,w)\mapsto \!\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}s_{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}w^{j_{2}}$, $(f,g)\mapsto \!\int _{X}\!fg$, $(\lambda ,\mu )\mapsto \!\int _{M}\!\lambda \wedge \mu$.
• Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство ${\overline {V}}$. Пространство ¯-билинейных форм: ${\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)$.
• Гомоморфизмы между пространствами с формой: $\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}$.
• Матрица Грама: $(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})$. ¯-Билинейная форма в координатах: $\sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}$.
• Изоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Преобразования при замене базиса: $\sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}$ и $\sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}$.
• Пространства (над $\mathrm {Fix} _{K}({\text{¯}})$) ${\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}$.
• Пространства (над $\mathrm {Fix} _{K}({\text{¯}})$) ${\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}$.

2.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}$. Утверждение: $\kappa (c\,v)=c{\overline {c}}\,\kappa (v)$.
• ¯-Квадратичная форма в координатах: $\kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}$ — однородный ¯-многочлен степени $2$ от $v^{1},\ldots ,v^{n}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $V$ — векторное пространство над полем $K$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)-\kappa (v-w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт:
  $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — симметричная билинейная форма в пространстве $V$ (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)$);
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {SBi} (V)&\to \mathrm {Quad} (V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\,\mathbb {C}$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$,
  имеем следующий факт: $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — полуторалинейная форма в пространстве $V$ (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$);
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Принцип поляризации: возможность проверять некоторые утверждения о ¯-билинейных формах только для аргументов вида $(v,v)$.
• Утверждение: пусть $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$ или $K=\mathbb {C}$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда $\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (v,v)=\sigma (a(v),a(v)){\bigr )}\}$.

2.1.3  Невырожденные ¯-билинейные формы

• Опускание индекса: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\downarrow _{\sigma }\colon V&\to {\overline {V}}^{*}\\v&\mapsto {\bigl (}w\mapsto \sigma (v,w){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Опускание индекса в координатах: $({\downarrow }_{\sigma }v)_{e}=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}$ и $({\downarrow }_{\sigma }v)_{j}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i,j}\,v^{i}$.
• Невырожденность формы: $\downarrow _{\sigma }$ — биекция; слабая невырожденность формы: $\downarrow _{\sigma }$ — инъекция; если $\dim V<\infty$, то эти свойства эквивалентны.
• Форма $(f,g)\mapsto \!\int _{-1}^{1}\!fg$ на $\mathrm {C} ^{0}\!([-1;1])$ вырождена, но слабо невырождена. Ранг формы: $\mathrm {rk} (\sigma )=\dim \mathrm {Im} \,{\downarrow }_{\sigma }$. Утверждение: $\mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})$.
• Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, $m\in \mathbb {N} _{0}$, $e\in V^{m}$; обозначим
  через $U$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{m}\rangle$; тогда $\det \sigma _{e,e}\!\neq 0$, если и только если $e\in \mathrm {OB} (U)$ и форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена.
• Подъем индекса ($\sigma$ невырождена): $\uparrow ^{\sigma }={\downarrow }_{\sigma }^{-1}$. Подъем индекса в координатах ($\sigma ^{e,e}=(\sigma _{e,e})^{-1}$): $({\uparrow }^{\sigma }\lambda )^{e}=(\sigma ^{e,e})^{\mathtt {T}}\!\cdot (\lambda _{e})^{\mathtt {T}}$ и $({\uparrow }^{\sigma }\lambda )^{i}=\sum _{j=1}^{n}\sigma ^{i,j}\,\lambda _{j}$.
• Ортогональное дополнение ($\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$): $U^{\perp }\!=\{v\in V\mid \forall \,u\in U\;{\bigl (}\sigma (u,v)=0{\bigr )}\}=\{v\in V\mid \forall \,u\in U\;{\bigl (}\sigma (v,u)=0{\bigr )}\}\leq V$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$ и $U,W\leq V$; тогда
  (1) $U\leq (U^{\perp })^{\perp }$, $U\leq W\,\Rightarrow \,W^{\perp }\!\leq U^{\perp }$, $(U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }$ и $\,U^{\perp }\!+W^{\perp }\!\leq (U\cap W)^{\perp }$;
  (2) если форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена, то $V=U\oplus U^{\perp }$ (и, значит, определен ортогональный проектор ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+u^{\perp }&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}$);
  (3) если формы $\sigma |_{U\times U}$ и $\sigma |_{U^{\perp }\times \,U^{\perp }}$ невырождены и $\dim V<\infty$, то $U=(U^{\perp })^{\perp }$;
  (3+) если форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и форма $\sigma |_{U^{\perp }\times \,U^{\perp }}$ слабо невырождена, то $U=(U^{\perp })^{\perp }$.

2.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \,$$\forall \,j_{1},j_{2}\in \{1,\ldots ,\dim V\}\;{\bigl (}j_{1}\neq j_{2}\,\Rightarrow \,\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})=0{\bigr )}$.
• Ортонормированный базис (обычно $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): $e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица с $1$, $-1$, $0$ на диагонали${\bigr )}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}$; тогда
  существует такой вектор $v\in V$, что $\sigma (v,v)\neq 0$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; тогда
  (1) в пространстве $V$ существует ортогональный базис (то есть $\mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$);
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то в пространстве $V$ существует ортонормированный базис (то есть $\mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$).
• Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица;
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица с $1$, $-1$, $0$ на диагонали.
• Метод Лагранжа: приведение квадратичной формы к сумме квадратов (с коэффициентами) при помощи выделения полных квадратов.
• Лемма об ортогональном проекторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, а также $U\leq V$,
  $\dim U<\infty$, $e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})$, форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена; тогда для любых $v\in V$ выполнено $\mathrm {proj} _{U}(v)=\!\sum _{j=1}^{\dim U}\!{\frac {\sigma (v,e_{j})}{\sigma (e_{j},e_{j})}}e_{j}$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$,
  $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ и
  обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$. Пусть для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ форма $\sigma |_{V_{i}\times V_{i}}$ невырождена (это эквивалентно
  тому, что $m_{i}\neq 0$); для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через ${\hat {e}}_{i}$ вектор $e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})$. Тогда для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  (1) $({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})$ и $\,\sigma ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}$;
  (2) ${\hat {e}}_{i}=e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {\sigma (e_{i},{\hat {e}}_{j})}{\sigma ({\hat {e}}_{j},{\hat {e}}_{j})}}{\hat {e}}_{j}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}$).

2.2  Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

2.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы и матрицы

• Множества ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}$.
• Множества ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)<0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}<0{\bigr )}\}$.
• Неотрицательно и неположительно определенные формы и матрицы: символы «$>$» и «$<$» заменяются на символы «$\geq$» и «$\leq$» соответственно.
• Критерий Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$;
  обозначим через $n$ число $\dim V$; для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$; тогда
  (1) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}$;
  (2) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}$.
• Матричная формулировка критерия Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)$; для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$
  обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $s$; тогда
  (1) $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}$;
  (2) $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}$.

2.2.2  Сигнатура ¯-симметричной ¯-билинейной формы над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

• Два ранга формы: $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(U)\}$ и $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(U)\}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и
  $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (2) $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (3) $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )+\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma )$.
• Сигнатура формы: пара $(\mathrm {rk} _{>0}(\sigma ),\mathrm {rk} _{<0}(\sigma ))$. Пространство Минковского — четырехмерное пространство над $\mathbb {R}$ с формой сигнатуры $(1,3)$.
• Отступление в геометрию???

2.2.3  (Псевдо)евклидовы и (псевдо)унитарные пространства

• (Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {R}$ с невырожденной симметричной билинейной формой.
• (Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {C}$ с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
• Евклидово/унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {R}$/над $\mathbb {C}$ с положительно определенной формой.

2.2.4  Основы геометрии в евклидовых и унитарных пространствах

• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство
  и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$. Для любых
  $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через ${\check {e}}_{i}$ вектор ${\frac {e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})}{\|e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})\|}}$. Тогда для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  (1) $({\check {e}}_{1},\dots ,{\check {e}}_{i})\in \mathrm {OnOB} (V_{i})$;
  (2) ${\check {e}}_{i}={\frac {e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}}{\|e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}\|}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\check {e}}_{1},\ldots ,{\check {e}}_{n}$).