Алгебраические структуры 5 2015

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

2  Билинейная и полилинейная алгебра

2.1  Векторные пространства с (полу)билинейной формой

2.1.1  ???

• $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {S} \mathrm {Bi} }}_{>0}(U)\}$, $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {S} \mathrm {Bi} }}_{<0}(U)\}$.
• Закон инерции. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {S} \mathrm {Bi} }}(V)$, $e\in \mathrm {OOB} (V)$; тогда
  (1) $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,\dim V\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,\dim V\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (2) $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,\dim V\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,\dim V\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ не зависит от базиса $e$).
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в пространстве с симметричной (полу)билинейной формой. Пусть $K$ — поле с инволюцией,
  $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {S} \mathrm {Bi} }}(V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$. Пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$;
  для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ и обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$.
  Пусть для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ форма $\sigma |_{V_{i}\times V_{i}}$ невырождена (это эквивалентно тому, что $m_{i}\neq 0$). Тогда
  (1) существует единственная такая последовательность ${\hat {e}}\in V^{n}$, что для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено ${\hat {e}}_{i}\in (e_{i}+V_{i-1})\cap V_{i-1}^{\perp }$;
  (2) последовательность ${\hat {e}}$ из пункта (1) обладает следующими свойствами: ${\hat {e}}\in \mathrm {OOB} (V)$ и для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  $\sigma ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}$, а также ${\hat {e}}_{i}=e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {\sigma (e_{i},{\hat {e}}_{j})}{\sigma ({\hat {e}}_{j},{\hat {e}}_{j})}}{\hat {e}}_{j}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}$).
• Критерий Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {S} \mathrm {Bi} }}(V)$; обозначим
  через $n$ число $\dim V$. Пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$; для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$. Тогда
  (1) $\sigma \in {\overline {\mathrm {S} \mathrm {Bi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}$;
  (2) $\sigma \in {\overline {\mathrm {S} \mathrm {Bi} }}_{<0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}$.

2.2  Евклидовы и эрмитовы пространства

2.2.1  ???

• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или эрмитовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово или эрмитово пространство;
  обозначим через $n$ число $\dim V$. Пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$. Тогда
  (1) существует единственная такая последовательность ${\hat {e}}\in V^{n}$, что для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено ${\hat {e}}_{i}\in V_{i}\cap V_{i-1}^{\perp }$ и $\|{\hat {e}}_{i}\|=1$;
  (2) последовательность ${\hat {e}}$ из пункта (1) обладает следующими свойствами: ${\hat {e}}\in \mathrm {OnOB} (V)$ и для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  ${\hat {e}}_{i}={\frac {e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\hat {e}}_{j}){\hat {e}}_{j}}{\|e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\hat {e}}_{j}){\hat {e}}_{j}\|}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}$).