Алгебра, 1 семестр, 2014/15

Лекции

Страница Максима Всемирнова

Консультации: 9:30-10:00 по средам, стоит предупреждать заранее по почте.

Группа Всемирнова

Задачник

Задачи из книги Д.К.Фаддева и И.С.Соминского "Сборник задач по высшей алгебре" (поздние издания также называются "Задачи по высшей алгебре"). Нужны издания, начиная с 11-го (1977 год и позднее). Проверяли номера заданий по 11 (1977 год) и 13 (2001 год) изданиям.

Обратите внимание на структуру задачника: собственно задачи, раздел с указаниями и раздел с ответами. Звездочка после номера задачи означает, что к ней есть указание.

На 03.12.2014

• Кратные корни: 573, 574, 575 (это три последние задачи из прошлого задания, которые мы не успели разобрать).
• Схема Горнера: 551а, 553b, 554а.
• Наибольший общий делитель: 578е, 579d, 580b, 582a, 586a.
• Китайская теорема об остатках: 583a.
• Интерполяция: 631d, 632a, 639, 642.

Старое

ДЗ (от 25 ноября 2014)

ДЗ (8 октября 2014). Про отчётность: "если успеете сделать его до среды, будет замечательно. Но так как задание появилось позднее, то можно его сдавать частями или прислать мне на почту до четверга. Во втором случае я буду зачитывать те задания, которые не разберем на практике в среду".

С 8 сентября по 5 октября (четыре недели) практики велись у Антипова (см. ниже).

Группа Антипова

ДЗ на 3.11

12.11.2014

ДЗ на 12.11

12.11.2014

ДЗ на 05.11

05.11.2014

ДЗ на 22.10

22.10.2014

ДЗ на 08.10

1. Найдите наибольший возможный порядок в группе перестановок на 15 элементах.
2. 1. Выпишите всевозможные цикловые типы четных и нечетных перестановок в группе перестановок на 5 элементах
   2. Докажите, что перестановка четна если в разложении её на циклы количество четных циклов четно (а иначе нечетна).
3. Докажите, что любую четную перестановку можно записать как произведение циклов длины 3.

ДЗ на 24.09.

1. Пусть $X$ - множество всех делителей $2002^{2002}$. Обозначим НОД чисел за $(a,b)$, а НОК за $[a,b]$. Введём отношение эквивалентности: $a\sim b\iff \left({\frac {[a,b]}{(a,b)}},77\right)=1$. Сколько элементов в фактормножестве $X/\sim$?
2. Найти минимальное отношение эквивалентности $\sim$, содержащее данное отношение $R$ (т.е. $\sim$ есть транзитивное замыкание $R$) и количество элементов в фактормножестве $X/\sim$.
   1. $X=\mathbb {R} _{+}$ (положительные числа); $aRb\iff ab(b+1)>a^{2}+b^{3}$
   2. $X=\mathbb {Z}$; $aRb\iff (a-3b)\vdots 121$ ($x\vdots b$ обозначает "$x$ делится на $y$ без остатка")
3. Найти количество отображений $f:\{1,2,3,\dots ,n\}\to \{1,2,3,\dots ,n\}$, обладающих указанными свойствами:
   1. $f(f(x))=x$ при любом x
   2. $f(f(x))=1$ при любом x.