Домашнее задание к 11.09.14, матан, 1 семестр

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

1. 
   Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.
2. $F\subseteq 2^{\mathbb {N} }$. Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
   1. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:$ либо $A\subseteq B$, либо $B\subseteq A$
   2. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:|A\cap B|<\infty$
3. $E\subseteq \mathbb {N} ,|E|=\infty$. Доказать, что существует $a\in \mathbb {R} ,a>1$ такое, что существует существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что $\left\lfloor {a^{n}}\right\rfloor \in E$ ($\left\lfloor x\right\rfloor$ - целая часть $x$ или округление вниз).