Алгебра phys 1 февраль–март

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск

2  Линейная алгебра

2.1  Векторные пространства

2.1.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
  • Векторное пространство над полем — абелева группа с умножением на скаляры из , являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
  • Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
  • Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): — векторное пространство. Кольцо , группа .
  • Подпространство: . Подпростр.-во, порожд. мн.-вом : .
  • Утверждение: . Линейная комбинация элементов мн.-ва : .
  • Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре линейного оператора.

    Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
    (1) для любых и выполнено (и, значит, );
    (2) , если и только если .

  • Матричная запись системы из линейных урав.-й от переменных: , где , и . Однородная система: .
  • Утверждение: пусть ; тогда . Линейные дифференц. уравнения и системы уравнений.
2.1.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
  • — независимое мн.-во: . — порождающее мн.-во: . Базис — независ. порожд. мн.-во.
  • Стандартные базисы пространств , и : , и .
  • Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда следующие условия эквивалентны:
    (у1) — базис пространства ;
    (у2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
    (у3) для любого вектора существует единственная такая функция , что ;
    (у4) — независимое подмножество в и для любого вектора множество не является независимым подмножеством в
    (то есть — максимальное независимое множество);
    (у5) — порождающее подмножество в и для любого вектора множество не является порождающим подмножеством в
    (то есть — минимальное порождающее множество).
  • Теорема об универсальности базиса. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и — базис пространства ; тогда
    для любых существует единственный такой линейный оператор , что (и, значит, отображение
    — изоморфизм векторных пространств).
  • Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над , — базис пространства и ; тогда
    (1) , если и только если — независимое множество;
    (2) , если и только если — порождающее множество;
    (3) , если и только если — базис.
  • Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
    (1) если — независимое множество и , то ;
    (2) если и — базисы пространства , то .
  • Теорема о построении базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и , а также в пространстве
    существует конечное порождающее подмножество; тогда
    (1) если — независимое множество, то существует такой базис пространства , что (то есть можно дополнить до базиса);
    (2) если — порождающее множество, то существует такой базис пространства , что (то есть из можно выделить базис);
    (3) в пространстве существует базис.
2.1.3  Размерность, координаты, замена координат
  • Размерность пространства : порядок (мощность) базиса. Примеры: , , .
  • Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
    (2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
    (3) для любого подпространства в выполнено и, если , то .
  • Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если ;
    (3) , если и только если ;
    (4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов).
  • Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств .
  • Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .

    Теорема о матрице линейного оператора.
    (1) Пусть — поле, — векторные пространства над полем , , , и ; тогда
    , а также отображения и
    взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
    (2) Пусть — поле, — векторные пространства над полем , , , и ,
    а также и ; тогда .

  • Матрицы замены координат и замены базиса (): и . Пример: . Утверждение: , .
  • Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
  • Преобразование матрицы линейного оператора: ; то же в покомпонентной записи (если ): .
2.1.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
  • Факторпростр.-во: с фактороперациями (). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: .

    Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .

  • Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , — базис пр.-ва , — базис пр.-ва и ; тогда
    (1) все классы смежности , где , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
    (2) если , то ;
    (3) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа).
  • Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
  • Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
    отображение ; тогда
    (1) если и — базисы пространств соответственно, то множества попарно
    не пересекаются и — базис пространства ;
    (2) следующие условия эквивалентны: (у1) , (у2) и
    (у3) ;
    (3) если , то след. усл.-я эквивалентны: (у1) , (у2) и
    (у3) ;
    (4) если и , то (это формула Грассмана).
  • Внутренняя прямая сумма: . Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма.

    Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем , ,
    , и (то есть -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
    (1) существуют такие , , и , что ;
    (2) если , и , то существуют такие , и , что .

  • Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора.
  • Утверждение: . Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и , а также .
  • Двойственный оператор (): . Утверждение: пусть ; тогда — изоморфизм.

СВОДНАЯ ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ
(в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и )
Инвариантный объектКоординаты
относительно базиса
Преобразование координат
при замене базиса
Пример использования
в геометрии и физике
вектор
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм
векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
преобразование базиса:
скорость в точке
гладкого пути
на многообразии
ковектор
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм
векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
преобразование базиса:
дифференциал в точке
гладкой функции (скалярного поля)
на многообразии
эндоморфизм
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм колец
и векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
дифференциал в неподвижной точке
гладкого отображения,
действующего из многообразия в себя

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Элементарные преобразования, метод Гаусса, ранг линейного оператора
  • Элементарные матрицы: трансвекции , псевдоотражения .
  • Элемент. преобразования над строками 1-го и 2-го типов: и . Элемент. преобразования над столбцами.
  • Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.

    Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
    (2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства ;
    (3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ).

  • Метод Гаусса — приведение матрицы к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
  • Ранг линейного оператора : . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) ранг матрицы равен рангу линейного оператора ;
    (2) и ;
    (3) для любых обратимых матриц и выполнено ;
    (4) существуют такие обратимые матрицы и , что ;
    (5) и (то есть ранг матрицы по столбцам равен рангу матрицы по строкам).
  • Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
    (1) , и, если , то ;
    (2) если , то ;
    (3) если , то — класс смежности пространства по подпространству .
  • Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
    и ; тогда существуют такие упорядоченные базисы и , что .
2.2.2  Полилинейные отображения, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема
  • Пространства полилинейных отображений , . Пространства полилинейных форм , .
  • Пространства билинейных отображений , . Пространства билинейных форм , . Примеры полилин. форм.
  • Представление (действие) группы в пространстве : , где .
  • Пространство симметричных полилинейных форм: .
  • Пр.-во антисимм. полилин. форм: .
  • Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) ;
    (2) и, если , то "" можно заменить на "";
    (3) .
  • Пр.-во форм объема: ; . Форма объема, связанная с базисом: .
  • Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) и ;
    (2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
    (3) множество — базис пространства (и, значит, );
    (4) для любых и выполнено .
2.2.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, ориентация векторного пространства над
  • Определитель линейного оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
  • Операторная и матричная теоремы о главных свойствах определителя. Специальная линейная группа: .

    Операторная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) для любых выполнено (и, значит, — гомоморфизм моноидов по умножению);
    (3) .

    Матричная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле и ; тогда
    (1) для любых определитель матрицы равен определителю линейного оператора ;
    (2) для любых выполнено (и, значит, — гомоморфизм моноидов по умножению);
    (3) .

  • Миноры — определители подматриц. Дополнит. миноры. Присоединенная матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
  • Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) для любых выполнено и для любых выполнено ;
    (2) для любых выполнено и для любых выполнено
    (это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
    (3) и, если , то .
  • Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
  • Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
    что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ).
  • Отнош.-е одинаковой ориентированности (): . Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема.

    Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема. Пусть — вект. простр.-во над полем и ; рассмотрим
    множество орбит относительно действия ; тогда отображения и
    определены корректно и являются взаимно обратными биекциями.

  • Ориентация вект. пространства : элемент множества (или соответствующий ему элемент множества ).