Алгебра phys 1 февраль–март

2  Линейная алгебра

2.1  Векторные пространства

2.1.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем $K$ — абелева группа с умножением на скаляры из $K$, являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
• Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): $\mathrm {Hom} (V,Y)$ — векторное пространство. Кольцо $\mathrm {End} (V)$, группа $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)$.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Подпространство: $U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U$. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом $D$: $\langle D\rangle \leq V\;\land \;\forall \,U\leq V\;{\bigl (}D\subseteq U\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq U{\bigr )}$.
• Утверждение: $\langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}$. Линейная комбинация: $\sum _{d\in D}f(d)\,d=f_{1}d_{1}+\ldots +f_{m}d_{m}$. Пример: $K^{n}\!=\langle {\underline {e}}^{1},\ldots ,{\underline {e}}^{n}\rangle$.
• Ядро и образ линейного оператора $a$: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,a$. Утверждение: $\mathrm {Ker} \,a\leq V$, $\mathrm {Im} \,a\leq Y$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) для любых $y\in Y$ и $v_{0}\in a^{-1}(y)$ выполнено $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$ (и, значит, $\{a^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,a\}=V/\,\mathrm {Ker} \,a$);
  (2) $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)$, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$.

• Факторпростр.-во: $V/U$ с фактороперациями ($U\leq V$). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $K^{n}\!/\langle {\underline {e}}^{1}\rangle \cong K^{n-1}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a$.

• Прямая сумма $U\oplus W$: $U\times W$ с покомпонентными операциями. Обобщение ($I$ — мн.-во): $\bigoplus _{i\in I}V_{i}=\{f\in \mathrm {FinFunc} (I,\bigcup _{i\in I}V_{i})\mid \forall \,i\in I\;{\bigl (}f(i)\in V_{i}{\bigr )}\}$.

2.1.2  Базисы, координаты, размерность

• Теорема о размерностях ядра и образа и принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть $K$ — поле и $V,Y$ — вект. простр.-ва над $K$; тогда
  (1) если $\dim V<\infty$, то для любых $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ выполнено $\dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V$;
  (2) если $\dim V=\dim Y<\infty$, то $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)$.