Алгебраические структуры 5 2015

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

Векторные пространства и линейные операторы

Отступление в первый семестр

• Обозначения из математической логики и теории множеств.
• Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
• Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.

Матрицы, базисы, координаты

Матрицы, столбцы, строки.

• Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$. Пространство столбцов: $\,K\!^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$. Пространство строк: ${}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\,\{\,e_{i}^{j}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\},\;j\in \{1,\ldots ,n\}\,\}$.
• Стандартный базис пространства $K\!^{p}$: $\,\{\,e_{i}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\}\,\}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\,\{\,e^{j}\;\mid \;j\in \{1,\ldots ,n\}\,\}$.
• Умножение матриц: $\,(b\cdot a)_{k}^{i}=\!\!\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}a_{k}^{j}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$. Группа $\mathrm {GL} (n,K)$.
• Выделение строк матрицы: $\,a^{i}=e^{i}\cdot a$. Выделение столбцов матрицы: $\,a_{j}=a\cdot e_{j}$. Утверждение: $\,(b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a$ и $\,(b\cdot a)_{j}=b\cdot a_{j}$.
• Транспонирование матриц: $\,(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$. Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца $\mathrm {Mat} (n,K)$.

Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов.

• Упорядоченные базисы. Столбцы координат.
• Матрицы гомоморфизмов. Композиция гомоморфизмов и умножение матриц.
• Изоморфизм между кольцом эндоморфизмов и кольцом матриц.

$\forall \;e\in \mathrm {OB} (V),\;v\in V\;\;\;(\;v=e\cdot v^{e}\;)$

$\forall \;e\in \mathrm {OB} (V),\;h\in \mathrm {OB} (Y),\;a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\;\;\;(\;a(e)=h\cdot a_{e}^{h}\;)$

$\forall \;e\in \mathrm {OB} (V),\;h\in \mathrm {OB} (Y),\;a\in \mathrm {Hom} (V,Y),\;v\in V\;\;\;(\;a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}\;)$

$\forall \;e\in \mathrm {OB} (V),\;f\in \mathrm {OB} (X),\;g\in \mathrm {OB} (Z),\;a\in \mathrm {Hom} (V,X),\;b\in \mathrm {Hom} (X,Z)\;\;\;(\;(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}\;)$

План лекции 15.02.2016.

Замена базиса.

• Матрица замены базиса. Матрица замены координат.
• Преобразование координат векторов при замене базиса.
• Преобразование координат гомоморфизмов при замене базиса.
• Преобразование координат ковекторов при замене базиса.

Элементарные преобразования матриц.

• Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
• Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.