Алгебра phys 1 весна
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/1.
Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/2.
Дополнительная литература
[1] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2] И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
Содержание второго семестра курса алгебры
6 Векторные пространства
- 6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Системы линейных уравнений. Аффинные операторы. Аффинные подпространства. - 6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. - 6.3 Размерность, координаты, замена координат
Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов. - 6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
7 Линейные операторы (часть 1)
- 7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
Ступенчатые и строго ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. - 7.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема. - 7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры
