Алгебра phys 1 весна 2018

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.

Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание второго семестра курса алгебры

6   Векторные пространства

• 6.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
  Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
  Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Аффинные операторы. Аффинные подпространства. Системы линейных уравнений.
• 6.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
  Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
  порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
• 6.3  Размерность, координаты, замена координат
  Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
  оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
• 6.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
  Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
  прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
  ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.

7   Линейные операторы (часть 1)

• 7.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
  Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
  Ступенчатые и строго ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
• 7.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
  Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
  полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма $\mathrm{vol}^e$. Теорема о формах объема.
• 7.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
  Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа $\mathrm{SL}(V)$. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
  присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
  Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.

8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

• 8.1  ¯-Билинейные формы
  Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
  формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
• 8.2  ¯-Квадратичные формы
  ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем $\mathbb {C}$. Гиперповерхности
  второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
• 8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
  Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
  Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
• 8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
  Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
  Формула для вычисления проекции. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.

9   Геометрия в векторных пространствах над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

• 9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
  Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном
  дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с
  формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм.
• 9.2  Предгильбертовы пространства
  Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
  Метрика. Теорема о расстояниях и проектировании. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства.
• 9.3  Ориентация, объем, векторное произведение
  Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в
  координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное
  произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.

10   Алгебры

• 10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с $1$. Примеры инъективных гомоморфизмов
  $\mathbb {R}$-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебры многочленов от свободных переменных. Одночлены.
  Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих переменных. Алгебры многочленов от антикоммутирующих переменных.
• 10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  Алгебры Ли. Алгебра Ли $A^{-}$. Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для
  алгебр Ли. Примеры изоморфизмов $\mathbb {R}$-алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.

Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры

Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры