Алгебра phys 1 февраль–март

2  Линейная алгебра

2.1  Векторные пространства

2.1.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем $K$ — абелева группа с умножением на скаляры из $K$, являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): $\mathrm {Hom} (V,Y)$ — векторное пространство. Кольцо $\mathrm {End} (V)$, группа $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)$.
• Подпространство: $U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U$. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом $D$: $\langle D\rangle \leq V\;\land \;\forall \,U\leq V\;{\bigl (}D\subseteq U\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq U{\bigr )}$.
• Утверждение: $\langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}$. Линейная комбинация элементов мн.-ва $D$: $\sum _{d\in D}f(d)\,d=f(d_{1})\,d_{1}+\ldots +f(d_{m})\,d_{m}$.
• Ядро и образ линейного оператора $a$: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,a$. Утверждение: $\mathrm {Ker} \,a\leq V$ и $\,\mathrm {Im} \,a\leq Y$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) для любых $y\in Y$ и $v_{0}\in a^{-1}(y)$ выполнено $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$ (и, значит, $\{a^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,a\}=V/\,\mathrm {Ker} \,a$);
  (2) $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)$, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$.

• Матричная запись системы из $p$ линейных урав.-й от $n$ переменных: $a\cdot x=y$, где $x\in K^{n}$, $y\in K^{p}$, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$. Однородная система: $y=0$.
• Утверждение: пусть $a\cdot x_{0}=y$; тогда $\{x\in K^{n}\!\mid a\cdot x=y\}=x_{0}+\{x\in K^{n}\!\mid a\cdot x=0\}$. Линейные дифференц. уравнения и системы уравнений.

2.1.2  Базисы и размерность векторного пространства

• $C$ — независимое подмножество в $V$: $\forall \,f\in \mathrm {FinFunc} (C,K)\;{\bigl (}\sum _{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow \,f=0{\bigr )}$. Базис — независимое и порождающее подмножество.
• Стандартные базисы пространств $K^{n}$, $K_{n}$ и $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{{\underline {e}}_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,n\}\}$, $\{{\underline {e}}^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$ и $\{{\underline {e}}_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Теорема о свойствах базиса. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $B\subseteq V$; тогда следующие условия эквивалентны:
  (у1) $B$ — базис пространства $V$;
  (у2) отображение ${\Biggl (}\!{\begin{aligned}\,\mathrm {FinFunc} (B,K)&\to V\\f&\mapsto \sum _{b\in B}f(b)\,b\end{aligned}}\!{\Biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (у3) для любого вектора $v\in V$ существует единственная такая функция $f\in \mathrm {FinFunc} (B,K)$, что $v=\sum _{b\in B}f(b)\,b$;
  (у4) $B$ — независимое подмножество в $V$ и для любого вектора $v\in V\!\setminus \!B$ множество $B\cup \{v\}$ не является независимым подмножеством в $V$
  (то есть $B$ — максимальное независимое подмножество в $V$);
  (у5) $B$ — порождающее подмножество в $V$ и для любого вектора $b\in B$ множество $B\!\setminus \!\{b\}$ не является порождающим подмножеством в $V$
  (то есть $B$ — минимальное порождающее подмножество в $V$).
• Теорема о порядках независимых и порождающих подмножеств. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над полем $K$, $C,D\subseteq V$ и $|D|<\infty$; тогда
  (1) если $C$ — независимое подмножество в $V$ и $C\subseteq \langle D\rangle$, то $|C|\leq |D|$;
  (2) если $C$ и $D$ — базисы пространства $V$, то $|C|=|D|$.
• Теорема о построении базиса. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $C,D\subseteq V$ и $|D|<\infty$, а также в пространстве $V$
  существует конечное порождающее подмножество; тогда
  (1) если $C$ — независимое подмн.-во в $V$, то существует такой базис $B$ пространства $V$, что $C\subseteq B$ (то есть $C$ можно дополнить до базиса);
  (2) если $D$ — порождающее подмн.-во в $V$, то существует такой базис $B$ пространства $V$, что $B\subseteq D$ (то есть из $D$ можно выделить базис);
  (3) в пространстве $V$ существует базис.
• Размерность $\dim V$ пространства $V$: порядок (мощность) базиса. Примеры: $\dim K^{n}\!=\dim K_{n}\!=n$, $\dim \mathrm {Mat} (p,n,K)=n\,p$, $\dim K[x]=\infty$.
• Теорема о свойствах размерности. $V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y$; пусть $U\leq V$, $\dim U=\dim V<\infty$; тогда $U=V$.