Алгебраические структуры 5 2015

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

2  Билинейная и полилинейная алгебра

2.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

2.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры билинейных форм: $(v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w$ ($v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}s_{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}w^{j_{2}}$), $(f,g)\mapsto \!\int _{X}\!sfg$.
• Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство ${\overline {V}}$. Пространство ¯-билинейных форм: ${\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)$.
• Матрица Грама формы $\sigma$: $(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})$. ¯-Билинейная форма в координатах: $\sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}$.
• Изоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Преобразования при замене базиса: $\sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}$ и $\sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}$.
• Пр.-ва (над полем $\{c\in K\mid c={\overline {c}}\}$) ${\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}$.
• Пр.-ва (над полем $\{c\in K\mid c={\overline {c}}\}$) ${\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}$.
• Мн.-во гомоморфизмов между пространствами с формой: $\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}$.
• Группа автоморфизмов пространства с формой: $\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(V,\sigma ))\cap \mathrm {GL} (V)$ и $\mathrm {Aut} (n,K,s)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid a^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {a}}=s\}$.

2.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}$. Утверждение: $\kappa (c\,v)=c{\overline {c}}\,\kappa (v)$.
• ¯-Квадратичная форма в координатах: $\kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}$ — однородный ¯-многочлен степени $2$ от $v^{1},\ldots ,v^{n}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $V$ — векторное пространство над полем $K$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)-\kappa (v-w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт:
  $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — симметричная билинейная форма в пространстве $V$ (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)$);
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {SBi} (V)&\to \mathrm {Quad} (V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\,\mathbb {C}$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$,
  имеем следующий факт: $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — полуторалинейная форма в пространстве $V$ (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$);
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Принцип поляризации: возможность проверять некоторые утверждения о ¯-билинейных формах только для аргументов вида $(v,v)$.
• Утверждение: пусть $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$ или $K=\mathbb {C}$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда $\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (v,v)=\sigma (a(v),a(v)){\bigr )}\}$.

2.1.3  Невырожденные ¯-билинейные формы

• Опускание индексов: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\downarrow _{\sigma }\colon V&\to {\overline {V}}^{*}\\v&\mapsto {\bigl (}w\mapsto \sigma (v,w){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Опускание индексов в координатах: $({\downarrow }_{\sigma }v)_{e}=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}$ и $({\downarrow }_{\sigma }v)_{j}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i,j}\,v^{i}$.
• Случай $\dim V<\infty$: ${\bigl (}$$\sigma$ невырождена${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\downarrow _{\sigma }$ — биекция${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \;$$\mathrm {Ker} \,{\downarrow }_{\sigma }\!=\{0\}$. Ранг формы: $\mathrm {rk} (\sigma )=\dim \mathrm {Im} \,{\downarrow }_{\sigma }$. Утверждение: $\mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})$.
• Тонкости случая $\dim V=\infty$. Пример: пусть $V=\mathrm {C} ^{0}\!([-1;1],\mathbb {R} )$ и $\sigma \colon (f,g)\mapsto \!\int _{-1}^{1}\!fg$; тогда $\mathrm {Ker} \,{\downarrow }_{\sigma }\!=\{0\}$, но $\mathrm {Im} \,{\downarrow }_{\sigma }\!<V^{*}\!\cap \mathrm {C} ^{0}\!(V,\mathbb {R} )$.
• Подъем индексов ($\sigma$ невырождена): $\uparrow ^{\sigma }={\downarrow }_{\sigma }^{-1}$. Подъем индексов в координатах ($\sigma ^{e,e}=(\sigma _{e,e})^{-1}$): $({\uparrow }^{\sigma }\lambda )^{e}=(\sigma ^{e,e})^{\mathtt {T}}\!\cdot (\lambda _{e})^{\mathtt {T}}$ и $({\uparrow }^{\sigma }\lambda )^{i}=\sum _{j=1}^{n}\sigma ^{j,i}\,\lambda _{j}$.
• Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, $m\in \mathbb {N} _{0}$, $e\in V^{m}$; обозначим
  через $U$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{m}\rangle$; тогда $\det \sigma _{e,e}\!\neq 0$, если и только если $e\in \mathrm {OB} (U)$ и форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена.
• Ортогональность ($\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$): $v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0$. Ортогональное дополнение: $U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$ и $U,W\leq V$; тогда
  (1) $U\leq U^{\perp \perp }$, $U\leq W\,\Rightarrow \,W^{\perp }\!\leq U^{\perp }$, $(U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }$ и $\,U^{\perp }\!+W^{\perp }\!\leq (U\cap W)^{\perp }$;
  (2) $\mathrm {Ker} ({\downarrow }_{\sigma |_{U\times U}})=U\cap U^{\perp }$ и, если $\dim U<\infty$, то ${\bigl (}$$\sigma |_{U\times U}$ невырождена${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \;$$U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$;
  (3) если форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена, то $V=U\oplus U^{\perp }$ (и, значит, определен ортогональный проектор ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+u^{\perp }&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}$);
  (4) если форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $U^{\perp }\!\cap U^{\perp \perp }\!=\{0\}$, то $U=U^{\perp \perp }$.

2.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \,$$\forall \,j_{1},j_{2}\in \{1,\ldots ,\dim V\}\;{\bigl (}j_{1}\neq j_{2}\,\Rightarrow \,\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})=0{\bigr )}$.
• Ортонормированный базис (если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): $e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица с $1$, $-1$, $0$ на диагонали${\bigr )}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}$; тогда
  существует такой вектор $v\in V$, что $\sigma (v,v)\neq 0$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; тогда
  (1) в пространстве $V$ существует ортогональный базис (то есть $\mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$);
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то в пространстве $V$ существует ортонормированный базис (то есть $\mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$).
• Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица;
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица с $1$, $-1$, $0$ на диагонали.
• Утверждение: пусть $U\leq V$, $\dim U<\infty$, $e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})$, форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $v\in V$; тогда $\mathrm {proj} _{U}(v)=\!\sum _{j=1}^{\dim U}\!{\frac {\sigma (v,e_{j})}{\sigma (e_{j},e_{j})}}e_{j}$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$,
  $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ и
  обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$. Пусть для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ форма $\sigma |_{V_{i}\times V_{i}}$ невырождена (это эквивалентно
  тому, что $m_{i}\neq 0$); для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через ${\hat {e}}_{i}$ вектор $e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})$. Тогда для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  (1) $({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})$ и $\,\sigma ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}$;
  (2) ${\hat {e}}_{i}=e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {\sigma (e_{i},{\hat {e}}_{j})}{\sigma ({\hat {e}}_{j},{\hat {e}}_{j})}}{\hat {e}}_{j}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}$).

2.2  Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

2.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы

• Множества ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}$.
• Множества ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)<0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}<0{\bigr )}\}$.
• Критерий Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$;
  обозначим через $n$ число $\dim V$; для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$; тогда
  (1) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}$;
  (2) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}$.
• Утверждение: пусть $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)\cup {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)$ и $U\leq V$; тогда $U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$ и, если $\dim U<\infty$, то форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена.
• Евклидово$/$унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {R}$$/$над $\mathbb {C}$ с положительно определенной формой.
• Ортогональные многочлены. Тригонометрические многочлены и многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).

2.2.2  Сигнатура ¯-симметричной ¯-билинейной формы над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

• Полож. и отриц. ранги: $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(U)\}$ и $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(U)\}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и
  $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (2) $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (3) $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )+\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma )$.
• Сигнатура формы: пара $(\mathrm {rk} _{>0}(\sigma ),\mathrm {rk} _{<0}(\sigma ))$. Пространство Минковского — четырехмерное пространство над $\mathbb {R}$ с формой сигнатуры $(1,3)$.
• (Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {R}$ с невырожденной симметричной билинейной формой.
• (Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {C}$ с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
• Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).

2.2.3  Евклидовы и унитарные пространства

• Обозначение формы: $(,)$. Примеры: $(v,w)=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\overline {w^{i}}}$, $(f,g)=\!\int _{X}\!f{\overline {g}}$. Норма: $\|v\|=\!{\sqrt {(v,v)}}$. Утверждение: $v\neq 0\,\Rightarrow \,\|v\|>0$ и $\|c\,v\|=|c|\,\|v\|$.
• Теорема о свойствах нормы. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство; тогда
  (1) для любых $v,w\in V$ выполнено $|(v,w)|\leq \|v\|\,\|w\|$ (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
  (2) для любых $v,w\in V$ выполнено $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ (это неравенство треугольника);
  (3) для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ и $v\in V$ выполнено $v=\!\sum _{i=1}^{\dim V}\!(v,e_{i})e_{i}$ и $\|v\|^{2}=\!\sum _{i=1}^{\dim V}\!|(v,e_{i})|^{2}$ (это равенство Парсеваля).
• Гильбертово пространство над $\mathbb {R}$$/$над $\mathbb {C}$ — (не обязательно конечномерное) «евклидово»$/$«унитарное» пространство, полное относительно нормы.
• Теорема об ортогональном проектировании. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство и $U\leq V$; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OnOB} (U)$ и $v\in V$ выполнено $\mathrm {proj} _{U}(v)=\!\sum _{j=1}^{\dim U}\!(v,e_{j})e_{j}$ и $\|v\|^{2}\geq \!\sum _{j=1}^{\dim U}\!|(v,e_{j})|^{2}$ (это неравенство Бесселя);
  (2) для любых $v\in V$ и $u\in U\!\setminus \!\{\mathrm {proj} _{U}(v)\}$ выполнено $\|v-\mathrm {proj} _{U}(v)\|<\|v-u\|$ (и, значит, $\|v-\mathrm {proj} _{U}(v)\|=\min\{\|v-u\|\mid u\in U\}$).
• Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если $K=\mathbb {R}$): $\angle (v,w)=\arccos {\frac {(v,w)}{\|v\|\,\|w\|}}$ и $\angle (v,U)=\angle (v,\mathrm {proj} _{U}(v))$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство
  и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$. Для любых
  $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через ${\check {e}}_{i}$ вектор ${\frac {e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})}{\|e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})\|}}$. Тогда для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  (1) $({\check {e}}_{1},\dots ,{\check {e}}_{i})\in \mathrm {OnOB} (V_{i})$;
  (2) ${\check {e}}_{i}={\frac {e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}}{\|e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}\|}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\check {e}}_{1},\ldots ,{\check {e}}_{n}$).

2.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы

2.3.1  Сопряжение операторов

• Сопряженный оператор (форма $\sigma$ невырождена): $a^{*}(v)={\uparrow }^{\sigma }{\bigl (}({\downarrow }_{\sigma }v)\circ a{\bigr )}$. Сопряженный оператор в координатах: $(a^{*})_{e}^{e}=(\sigma ^{e,e})^{\mathtt {T}}\!\cdot {\overline {a_{e}^{e}}}^{\mathtt {T}}\!\!\cdot (\sigma _{e,e})^{\mathtt {T}}$.
• Лемма о сопряжении операторов. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, форма $\sigma$ невырождена; тогда
  (1) для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ и $v\in V$ вектор $a^{*}(v)$ однозначно определяется условием $\forall \,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,a(w))=\sigma (a^{*}(v),w){\bigr )}$;
  (2) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$ выполнено $(a+b)^{*}\!=a^{*}\!+b^{*}$, $(c\,a)^{*}\!={\overline {c}}\,a^{*}$ и $(a\circ b)^{*}\!=b^{*}\!\circ a^{*}$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {End} (V)\\a&\mapsto a^{*}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — ¯-антиэндоморфизм $K$-алгебры $\,\mathrm {End} (V)$);
  (3) $\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid a^{*}\!=a^{-1}\}=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid a\circ a^{*}\!=a^{*}\!\circ a=\mathrm {id} _{V}\}$.
• Ортогональная группа ($V$ — (псевдо)евклидово пр.): $\mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$. Унитарная группа ($V$ — (псевдо)унитарное пр.): $\mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$.
• Классические группы над $\mathbb {R}$: $\mathrm {O} (p,q)=\mathrm {Aut} {\bigl (}p+q,\mathbb {R} ,{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\mathrm {id} _{p}&0\\0&-\mathrm {id} _{q}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}$, $\mathrm {O} (n)=\mathrm {O} (n,0)$, $\mathrm {SO} (p,q)=\mathrm {O} (p,q)\cap \mathrm {SL} (p+q,\mathbb {R} )$, $\mathrm {SO} (n)=\mathrm {SO} (n,0)$.
• Классические группы над $\mathbb {C}$: $\mathrm {U} (p,q)=\mathrm {Aut} {\bigl (}p+q,\mathbb {C} ,{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\mathrm {id} _{p}&0\\0&-\mathrm {id} _{q}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}$, $\mathrm {U} (n)=\mathrm {U} (n,0)$, $\mathrm {SU} (p,q)=\mathrm {U} (p,q)\cap \mathrm {SL} (p+q,\mathbb {C} )$, $\mathrm {SU} (n)=\mathrm {SU} (n,0)$.
• Примеры: $\mathrm {SO} (2)={\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid \varphi \in [0;2\pi ){\bigr \}}\cong \mathrm {S} ^{1}$, $\mathrm {O} (2)={\bigl \{}\mathrm {id} _{2},{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr \}}\!\cdot \mathrm {SO} (2)$, $\mathrm {SU} (2)={\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} ,\,|c|^{2}\!+|d|^{2}\!=1{\bigr \}}\cong \mathrm {S} ^{3}$.

2.3.2  Операторы четырех видов

• Форма, связанная с оператором: $\sigma _{a}(v,w)=\sigma (a(v),w)$ ($\Leftrightarrow \,{\downarrow }_{\sigma _{a}}\!={\downarrow }_{\sigma }\!\circ a$). Форма, связанная с оператором, в координатах: $(\sigma _{a})_{e,e}=(a_{e}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}$.
• Лемма об операторах и формах. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, форма $\sigma$ невырождена; тогда
  отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\a&\mapsto \sigma _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {End} (V)\\\tau &\mapsto {\uparrow }^{\sigma }\!\circ {\downarrow }_{\tau }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство
  над полем $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, форма $\sigma$ невырождена и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) для любых $v,w\in V$ выполнено $\sigma _{a}(w,v)={\overline {\sigma _{a^{*}}(v,w)}}$;
  (2) $\sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\,\Leftrightarrow \,a=a^{*}$ и $\sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)\,\Leftrightarrow \,a=-a^{*}$, а также $a^{**}\!=a$;
  (3) $\mathrm {Ker} \,a^{*}\!=(\mathrm {Im} \,a)^{\perp }$ и $\,\mathrm {Im} \,a^{*}\!\leq (\mathrm {Ker} \,a)^{\perp }$;
  (4) для любых $U\leq V$ выполнено $a(U)\leq U\,\Rightarrow \,a^{*}(U^{\perp })\leq U^{\perp }$ и $\,a^{*}(U)\leq U\,\Rightarrow \,a(U^{\perp })\leq U^{\perp }$.
• Пр.-во самосопряженных оп.-ров: ${\mathcal {S}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\}$; ${\bigl (}$$\sigma$ невырождена${\bigr )}$$\,\Rightarrow \,$${\mathcal {S}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid a=a^{*}\}$.
• Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: ${\mathcal {A}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)\}$; ${\bigl (}$$\sigma$ невырождена${\bigr )}$$\,\Rightarrow \,$${\mathcal {A}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid a=-a^{*}\}$.
• Множество положительно определенных операторов (если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): ${\mathcal {S}}\mathrm {End} _{>0}(V,\sigma )=\{a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} (V,\sigma )\mid \sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)\}$.
• Множество нормальных операторов: ${\mathcal {N}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid a\circ a^{*}\!=a^{*}\!\circ a\}\supseteq \mathrm {Aut} (V,\sigma )\cup {\mathcal {S}}\mathrm {End} (V,\sigma )\cup {\mathcal {A}}\mathrm {End} (V,\sigma )$.
• Пример: положительно определенный оператор $f\mapsto -f''$ в пространстве $\{f\in \mathrm {C} ^{\infty }\!([0;l],\mathbb {C} )\mid f(0)=f(l)=0\}$ с формой $(f,g)\mapsto \!\int _{0}^{l}\!f{\overline {g}}$.

2.3.3  Спектральная теория (часть 1)

• Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство и $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) для любых $c\in \mathrm {Spec} (a)$ выполнено $V_{1}(a,c)=V_{1}(a^{*}\!,{\overline {c}})$;
  (2) для любых таких $c,d\in \mathrm {Spec} (a)$, что $c\neq d$, выполнено $V_{1}(a,c)\perp V_{1}(a,d)$.
• Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$, если и только если $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$.
• Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$; тогда
  $a\cdot {\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!={\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!\cdot a$, если и только если $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица${\bigr )}$.
• Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.
  Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $a\in \mathrm {U} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с числами вида $\,\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }$, где $\varphi \in [0;2\pi )$, на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathrm {Spec} (a)\subset \mathrm {S} ^{1}$;
  (2) $a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R}$;
  (3) $a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} _{>0}(V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R} _{>0}$;
  (4) $a\in {\mathcal {A}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с числами вида $\,\beta \,\mathrm {i}$, где $\beta \in \mathbb {R}$, на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R} \,\mathrm {i}$.
• Лемма об операторе с пустым спектром над полем R. Пусть $V$ — евклидово пространство, $V\neq \{0\}$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $\,\mathrm {Spec} (a)=\varnothing$; тогда
  (1) существует такое подпространство $U$ пространства $V$, что $\dim U=2$, $a(U)\leq U$ и, если $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$, то $a^{*}(U)\leq U$;
  (2) если $\dim V=2$, то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ выполнено $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$a_{e}^{e}\in {\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\,\beta \neq 0{\bigr \}}$.
• Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).

2.3.4  Спектральная теория (часть 2)

• $\mathbb {C}$-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над $\mathbb {R}$ с блоками размера $1\times 1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$.
• $\mathbb {C}$-Спектр оператора: $\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)=\{c\in \mathbb {C} \mid \chi _{a}(c)=0\}$. Утверждение: пусть $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$; тогда $\,\mathbb {C} \mathrm {Spec} {\bigl (}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}=\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} ,\alpha -\beta \,\mathrm {i} \}$.
• Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$, если и только если $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица${\bigr )}$.
• Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} )$; тогда
  $a\cdot a^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot a$, если и только если $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица${\bigr )}$.
• Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом
  пространстве. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $a\in \mathrm {O} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диаг. матрица с числами $1$, $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$, на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)\subset \mathrm {S} ^{1}$;
  (2) $a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R}$;
  (3) $a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} _{>0}(V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R} _{>0}$;
  (4) $a\in {\mathcal {A}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$, на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R} \,\mathrm {i}$.
• Теорема Эйлера о вращениях. Пусть $V$ — евклидово пространство, $\dim V=3$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $a\in \mathrm {SO} (V)$, если и только если
  существуют такие $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ и $\varphi \in [0;2\pi )$, что $a_{e}^{e}=\!{\biggl (}{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\biggr )}$.