Алгебраические структуры 5 2015

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

2  Билинейная и полилинейная алгебра

2.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

2.1.?  Векторные пространства с ¯-квадратичной формой

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}$.
• Теорема о поляризации квадратичной формы. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $V$ — векторное пространство над полем $K$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)-\kappa (v-w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт:
  $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — симметричная билинейная форма в пространстве $V$ (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)$);
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {SBi} (V)&\to \mathrm {Quad} (V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичной формы над полем C. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\mathbb {C}$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$,
  имеем следующий факт: $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — полуторалинейная форма в пространстве $V$ (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$);
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.

2.1.?  Диагонализация симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \,$$\forall \,j_{1},j_{2}\in \{1,\ldots ,\dim V\}\;{\bigl (}j_{1}\neq j_{2}\,\Rightarrow \,\sigma (e_{j_{1}},e_{j_{2}})=0{\bigr )}$.
• Ортонормированный базис (обычно $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): $e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица с $1$, $-1$, $0$ на диагонали${\bigr )}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и
  $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}$; тогда существует такой вектор $v\in V$, что $\sigma (v,v)\neq 0$.
• Теорема Лагранжа о диагонализации симметричной ¯-билинейной формы. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное
  пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; тогда
  (1) в пространстве $V$ существует ортогональный базис (то есть $\mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$);
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то в пространстве $V$ существует ортонормированный базис (то есть $\mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$).
• Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица;
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица с $1$, $-1$, $0$ на диагонали.
• Метод Лагранжа: приведение квадратичной формы к сумме квадратов (с коэффициентами) при помощи выделения полных квадратов.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в пространстве с симметричной ¯-билинейной формой. Пусть $K$ — поле с инволюцией,
  $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$. Пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$;
  для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ и обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$.
  Пусть для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ форма $\sigma |_{V_{i}\times V_{i}}$ невырождена (это эквивалентно тому, что $m_{i}\neq 0$). Тогда
  (1) существует единственная такая последовательность ${\hat {e}}\in V^{n}$, что для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено ${\hat {e}}_{i}\in (e_{i}+V_{i-1})\cap V_{i-1}^{\perp }$;
  (2) последовательность ${\hat {e}}$ из пункта (1) обладает следующими свойствами: ${\hat {e}}\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$ и для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  $\sigma ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}$, а также ${\hat {e}}_{i}=e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {\sigma (e_{i},{\hat {e}}_{j})}{\sigma ({\hat {e}}_{j},{\hat {e}}_{j})}}{\hat {e}}_{j}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}$).

2.2  Векторные пространства с симметричной ¯-билинейной формой над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

2.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы и матрицы

• Множество положительно определенных форм над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$: ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}$.
• Множество положительно определенных матриц над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$: ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}$.
• Отрицательно определенные формы и матрицы: в двух предыдущих определениях символы «$>0$» заменяются на символы «$<0$».
• Положительно и отрицательно полуопределенные формы и матрицы: символы «$>$» и «$<$» заменяются на символы «$\geq$» и «$\leq$» соответственно.
• Критерий Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; обозначим
  через $n$ число $\dim V$. Пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$; для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$. Тогда
  (1) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}$;
  (2) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}$.
• Матричная формулировка критерия Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)$; для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$
  обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $s$; тогда
  (1) $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}$;
  (2) $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}$.

2.2.2  Сигнатура симметричной ¯-билинейной формы над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

• Два ранга формы: $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(U)\}$ и $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(U)\}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$,
  а также $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (2) $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ не зависит от базиса $e$).
• Сигнатура формы: пара $(\mathrm {rk} _{>0}(\sigma ),\mathrm {rk} _{<0}(\sigma ))$. Пространство Минковского — четырехмерное пространство над $\mathbb {R}$ с формой сигнатуры $(1,3)$.
• Отступление в геометрию???

2.2  Евклидовы и эрмитовы пространства

2.2.1  ???

• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или эрмитовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово или эрмитово пространство;
  обозначим через $n$ число $\dim V$. Пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$. Тогда
  (1) существует единственная такая последовательность ${\hat {e}}\in V^{n}$, что для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено ${\hat {e}}_{i}\in (e_{i}+V_{i-1})\cap V_{i-1}^{\perp }$;
  (2) определим последовательность ${\check {e}}\in V^{n}$, используя последовательность ${\hat {e}}$ из пункта (1): для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим
  через ${\check {e}}_{i}$ вектор ${\frac {{\hat {e}}_{i}}{\|{\hat {e}}_{i}\|}}$; тогда последовательность ${\check {e}}$ обладает следующими свойствами: ${\check {e}}\in \mathrm {OnOB} (V)$ и для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$
  выполнено ${\check {e}}_{i}={\frac {e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}}{\|e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}\|}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\check {e}}_{1},\ldots ,{\check {e}}_{n}$).

  2.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы