Test page

Это песочница. Тут можно тестировать разметку.

Тестирование (h2)

Вот тут будет ненумерованный список:

• Первый элемент
• Второй элемент

А вот тут - нумерованный:

1. Первый элемент
2. Второй элемент

Математика

• Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{e_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{\mathbf {e} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{\epsilon _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{{\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Стандартный базис пространства $K^{p}$: $\{e_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\{e^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Стандартный базис пространства $K^{p}$: $\{\mathbf {e} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\{\mathbf {e} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Стандартный базис пространства $K^{p}$: $\{\epsilon _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\{\epsilon ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Стандартный базис пространства $K^{p}$: $\{{\boldsymbol {\epsilon }}_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\{{\boldsymbol {\epsilon }}^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,e_{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathbf {e} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathbf {e} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,\epsilon _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\epsilon _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,{\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1){\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,e_{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)e_{i}^{i})\cdot a$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathbf {e} _{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathbf {e} _{i}^{i})\cdot a$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\epsilon _{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\epsilon _{i}^{i})\cdot a$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,{\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1){\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{i})\cdot a$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,e_{l}^{j})$ и второго типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{j}^{j})$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathbf {e} _{l}^{j})$ и второго типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathbf {e} _{j}^{j})$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\epsilon _{l}^{j})$ и второго типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\epsilon _{j}^{j})$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,{\boldsymbol {\epsilon }}_{l}^{j})$ и второго типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1){\boldsymbol {\epsilon }}_{j}^{j})$.
• (2) существуют такие матрицы $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g\cdot a\cdot g'=e_{1}^{1}+e_{2}^{2}+\ldots +e_{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$;
  (2) существуют такие матрицы $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g\cdot a\cdot g'=\mathbf {e} _{1}^{1}+\mathbf {e} _{2}^{2}+\ldots +\mathbf {e} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$;
  (2) существуют такие матрицы $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g\cdot a\cdot g'=\epsilon _{1}^{1}+\epsilon _{2}^{2}+\ldots +\epsilon _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$;
  (2) существуют такие матрицы $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g\cdot a\cdot g'={\boldsymbol {\epsilon }}_{1}^{1}+{\boldsymbol {\epsilon }}_{2}^{2}+\ldots +{\boldsymbol {\epsilon }}_{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$;

Теорема о прямой сумме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $U,W\leq V$;
обозначим через $\mathrm {add} _{U,W}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
(1) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)$, $\mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W$;
(2) если $\dim U,\dim W<\infty$, то $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ (это формула Грассмана);
(3) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Isom} (U\oplus W,V)$$\;\Leftrightarrow \,$$\forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \;$$U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V$;
(3') если $\dim V<\infty$, то $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Isom} (U\oplus W,V)$$\;\Leftrightarrow \;$$U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V$.
(3') если $\dim V<\infty$, то $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Isom} (U\oplus W,V)$$\,\Leftrightarrow \,$$U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V$.