Test page

Formulas were compiled before January 16th, 2018. Formulas differ from the text, this is nice.

• Кольцо комплексных чисел: $\mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$, где $\mathrm {i} ^{2}=-1$. Утверждение: $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$. Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$.
• Вещественная и мнимая части: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta$. Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i}$. Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых $a\in \mathbb {C}$ выполнено $a\,{\overline {a}}=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$, то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {C}$ — поле).
  (2) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb {C}$).
  (3) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
• Группа $\mathrm S^1$: $\mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}$. Утверждение: $\mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1$. Экспонента от компл. числа $a$: $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\cdot \mathrm {e} ^{b}$, а также $\mathrm e^0\!=1$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$.
  (2) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ выполнено $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i$ (и, значит, $\mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}$ и $\,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z$).

• Тригонометрическая запись: $r\,(\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i)=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$. Группа корней $n$-й степ. из $1$: $\mathrm C_n\!=\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=1\}=\{1,\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i},\ldots,\mathrm e^{\frac{2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\langle\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i}\rangle$.
• Первообразные корни $n$-й степени из $1$. Корни $n$-й степени из $r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$: $\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\}=\{\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i},\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi}n\mathrm i},\ldots,\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i}\,\mathrm C_n$.
• «Основная теорема алгебры»: $\mathbb {C}$ — алгебраически замкнутое поле, то есть $\forall\,f\in\mathbb C[x]\!\setminus\!\mathbb C^\times\;\exists\,a\in\mathbb C\;\bigl(f(a)=0\bigr)$ (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
• Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
  (1) Пусть $f\in \mathbb {R} [x]$, $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$; тогда $f(\alpha+\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,f(\alpha-\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,(x^2-2\alpha\,x+\alpha^2+\beta^2)\,|\,f$.
  (2) $\mathrm {Irr} (\mathbb {R} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0\}\cup \{a\,x^{2}+b\,x+c\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,\,b^{2}-4a\,c<0\}$ и $\,\mathrm{Irr}(\mathbb C[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb C,\,a\ne0\}$.

Formulas were compiled after January 16th, 2018. Formulas do not differ from the text, this is not nice.

• Кольцо комплексных чисел: $\mathbb C=\{\alpha+\beta\,\mathrm i\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\}{}$, где $\mathrm i^2=-1{}$. Утверждение: $\mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1){}$. Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb R^2{}$.
• Вещественная и мнимая части: $\mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\alpha{}$ и $\mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\beta{}$. Сопряжение: $\overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)\,\mathrm i{}$. Модуль: $|a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\mathrm{Im}(a)^2}{}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых $a\in\mathbb C{}$ выполнено $a\,\overline a=|a|^2{}$ и, если $a\ne0{}$, то $a^{-1}\!=\!\frac{\overline a}{|a|^2}$ (и, значит, $\mathbb C{}$ — поле).
  (2) Для любых $a,b\in\mathbb C{}$ выполнено $\overline{a+b}=\overline a+\overline b{}$ и $\overline{a\,b}=\overline a\,\overline b{}$ (и, значит, отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr){}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb C{}$).
  (3) Для любых $a,b\in\mathbb C{}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|{}$ (и, значит, отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathbb C^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr){}$ — гомоморфизм групп).
• Группа $\mathrm S^1{}$: $\mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}{}$. Утверждение: $\mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1{}$. Экспонента от компл. числа $a{}$: $\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k{}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Для любых $a,b\in\mathbb C{}$ выполнено $\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b{}$, а также $\mathrm e^0\!=1{}$ и $\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}{}$.
  (2) Для любых $\varphi\in\mathbb R{}$ выполнено $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i{}$ (и, значит, $\mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}{}$ и $\,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z{}$).

• Тригонометрическая запись: $r\,(\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i)=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}{}$. Группа корней $n{}$-й степ. из $1{}$: $\mathrm C_n\!=\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=1\}=\{1,\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i},\ldots,\mathrm e^{\frac{2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\langle\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i}\rangle{}$.
• Первообразные корни $n{}$-й степени из $1{}$. Корни $n{}$-й степени из $r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}{}$: $\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\}=\{\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i},\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi}n\mathrm i},\ldots,\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i}\,\mathrm C_n{}$.
• «Основная теорема алгебры»: $\mathbb C{}$ — алгебраически замкнутое поле, то есть $\forall\,f\in\mathbb C[x]\!\setminus\!\mathbb C^\times\;\exists\,a\in\mathbb C\;\bigl(f(a)=0\bigr){}$ (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
• Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
  (1) Пусть $f\in\mathbb R[x]{}$, $\alpha,\beta\in\mathbb R{}$ и $\beta\ne0{}$; тогда $f(\alpha+\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,f(\alpha-\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,(x^2-2\alpha\,x+\alpha^2+\beta^2)\,|\,f{}$.
  (2) $\mathrm{Irr}(\mathbb R[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb R,\,a\ne0\}\cup\{a\,x^2+b\,x+c\mid a,b,c\in\mathbb R,\,b^2-4a\,c<0\}{}$ и $\,\mathrm{Irr}(\mathbb C[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb C,\,a\ne0\}{}$.

There are formulas that were compiled before January 16th, 2018, and formulas that were compiled after January 16th, 2018. Rasterization is different.

• $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$. $(X+Y)+Z=X+(Y+Z)$. $X\cup Y=Y\cup X$. $X+Y=Y+X$.