Алгебра phys 1 февраль–март

Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры

										Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно- научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира- щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам- нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика. Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб- лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени. А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия
										Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса, особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики. Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения) также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной. То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб- разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю- щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст- венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело- век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-) По мотивам комментария в Живом Журнале (avva.livejournal.com/2932837.html)

6   Векторные пространства

6.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем $K$ — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из $K$. Свойства операций в векторном пространстве.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): $\mathrm {Hom} (V,Y)$ — вект. пространство. Кольцо $\mathrm {End} (V)$, группа $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }$.
• Подпростр.-во: $U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U$. Подпр.-во, порожд. мн.-вом $D$: $\langle D\rangle$ — наименьш. относ.-но $\subseteq$ подпр.-во, содержащ. $D$.
• Линейная комбинация элементов множества $D$: $\sum _{d\in D}f(d)\,d=f(d_{1})\,d_{1}+\ldots +f(d_{m})\,d_{m}$. Утверждение: $\langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}$.
• Ядро и образ линейного оператора $a$: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,a$. Утверждение: $\mathrm {Ker} \,a\leq V$ и $\,\mathrm {Im} \,a\leq Y$. Теорема о слоях и ядре линейного оператора.

  Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) для любых $y\in Y$ и $v_{0}\in a^{-1}(y)$ выполнено $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$;
  (2) $a$ — инъекция, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$.

• Матричная запись системы из $p$ линейных уравн.-й от $n$ переменных: $a\cdot v=y$ ($a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$, $v\in K^{n}$, $y\in K^{p}$). Однородная система: $a\cdot v=0$.
• Аффинные операторы: $v\mapsto a(v)+z$, где $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$. Аффинные подпростр.-ва: $v+U$, где $U\leq V$ ($U$ — направляющее подпр.-во для $v+U$).

6.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы

• $C$ — независимое мн.-во: $\forall \,f\in \mathrm {FinFunc} (C,K)\;{\bigl (}\sum _{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0{\bigr )}$. $D$ — порождающее мн.-во: $V=\langle D\rangle$. Базис — независ. порожд. мн.-во.
• Стандартные базисы пространств $K^{n}$ и $K_{n}$: $\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}$ и $\{\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n\}$. Стандартный базис простр.-ва $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{\mathbf e_1^1,\ldots,\mathbf e_1^n,\ldots,\mathbf e_p^1,\ldots,\mathbf e_p^n\}$.
• Теорема о свойствах базиса. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $B\subseteq V$; тогда следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) $B$ — базис пространства $V$;
  (у2) отображение ${\Biggl (}\!{\begin{aligned}\,\mathrm {FinFunc} (B,K)&\to V\\f&\mapsto \sum _{b\in B}f(b)\,b\end{aligned}}\!{\Biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (у3) для любого вектора $v\in V$ существует единственная такая финитная функция $f\in \mathrm {FinFunc} (B,K)$, что $v=\sum _{b\in B}f(b)\,b$;
  (у4) $B$ — максимальное независимое множество (то есть $B$ — независимое мн.-во и для любых $v\in V\!\setminus \!B$ мн.-во $B\cup \{v\}$ не является независимым);
  (у5) $B$ — минимальное порождающее множество (то есть $B$ — порождающее мн.-во и для любых $b\in B$ мн.-во $B\!\setminus \!\{b\}$ не является порождающим).
• Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $C,D\subseteq V$ и $|D|<\infty$;
  тогда, если $C$ — независимое множество и $C\subseteq \langle D\rangle$, то $|C|\leq |D|$, и, если $C$ и $D$ — базисы пространства $V$, то $|C|=|D|$.
• Теорема о существовании базиса. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $C$ — независимое подмножество в $V$ и
  $D$ — порождающее подмножество в $V$, а также в $V$ существует конечное порождающее подмножество; тогда
  (1) существует такой базис $B$ пространства $V$, что $C\subseteq B$ (и, значит, дополняя до базиса множество $\,\varnothing$, получаем, что в $V$ существует базис);
  (2) существует такой базис $B$ пространства $V$, что $B\subseteq D$ (и, значит, выделяя базис из множества $V$, получаем, что в $V$ существует базис).
• Теорема об универсальности базиса. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр.-ва над $K$ и $B$ — базис пространства $V$; тогда для любых $\alpha \in \mathrm {Func} (B,Y)$
  существует единственный такой $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, что $a|_{B}=\alpha$ (и, значит, ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Func} (B,Y)\\a&\mapsto a|_{B}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм вект. пространств).
• Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр.-ва над $K$, $B$ — базис пространства $V$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) $a$ — инъекция, если и только если $a|_{B}$ — инъекция и $a(B)$ — независимое множество;
  (2) $a$ — сюръекция, если и только если $a(B)$ — порождающее множество;
  (3) $a$ — изоморфизм, если и только если $a|_{B}$ — инъекция и $a(B)$ — базис.

6.3  Размерность, координаты, замена координат

• Размерность $\dim V$ пр.-ва $V$ — порядок (мощность) базиса пр.-ва $V$. Примеры: $\dim K^{n}\!=\dim K_{n}\!=n$, $\dim \mathrm {Mat} (p,n,K)=n\,p$, $\dim K[x]=\infty$.
• Теорема о свойствах размерности. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) для любого независимого подмножества $C$ в $V$ выполнено $|C|\leq \dim V$ и, если $|C|=\dim V$, то $C$ — базис;
  (2) для любого порождающего подмножества $D$ в $V$ выполнено $|D|\geq \dim V$ и, если $|D|=\dim V$, то $D$ — базис;
  (3) для любого подпространства $U$ в $V$ выполнено $\dim U\leq \dim V$ и, если $\dim U=\dim V$, то $U=V$.
• Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $\dim V,\dim Y<\infty$; тогда
  (1) $\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing$, если и только если $\dim V\leq \dim Y$;
  (2) $\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing$, если и только если $\dim V\geq \dim Y$;
  (3) $V\cong Y$, если и только если $\dim V=\dim Y$;
  (4) если $\dim V=\dim Y$, то $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)$ (это принцип Дирихле для линейных операторов).
• Множество упорядоченных базисов: $\mathrm {OB} (V)$. Столбец координат вектора: $v^{e}$. Утверждение: $v=e\cdot v^{e}$. Изоморфизм векторных простр.-в ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Матрица линейн. оператора $a$: $(a_{e}^{h})_{j}^{\bullet }=a(e_{j})^{h}$. Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.

  Теорема о матрице линейного оператора. Пусть $K$ — поле и $V,X,Y,Z$ — векторные пространства над полем $K$; тогда
  (1) если $n=\dim V<\infty$, $p=\dim Y<\infty$, $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $h\in \mathrm {OB} (Y)$, то $\forall \,a\in \mathrm {Hom} (V,Y),\,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}$, а также отображение
  ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств (и, значит, $\dim\mathrm{Hom}(V,Y)=n\,p$);
  (2) если $\dim V,\dim X,\dim Z<\infty$, $e\in \mathrm {OB} (V)$, $f\in \mathrm {OB} (X)$ и $g\in \mathrm {OB} (Z)$, то $\forall\,a\in\mathrm{Hom}(V,X),\,b\in\mathrm{Hom}(X,Z)\;\bigl((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\bigr)$.

• Матрица замены координат ($e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$): $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$. Пример: $\mathrm c_e^\mathbf e=e$ ($V=K^n$, $\mathbf e=(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)$). Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$ и $\,\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm c_e^\tilde e)^{-1}$.
• Преобразование столбца координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$; то же в покомпонентной записи: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$. Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$.
• Преобраз.-е матрицы линейн. оператора: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$; то же в покомпонентной записи ($a\in \mathrm {End} (V)$, $e=h$, $\tilde e=\tilde h$): $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$.

6.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство

• Факторпространство: $V/U$ с фактороперациями ($U\leq V$). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: $\mathrm{codim}_VU=\dim V/U$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a$.

• Теорема о факторпространстве. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $U\leq V$; тогда
  (1) если $A$ — базис пространства $U$, $B$ — базис пространства $V$ и $A\subseteq B$, то все классы смежности $b+U$, где $b\in B\!\setminus \!A$, попарно различны и
  вместе образуют базис пространства $V/U$;
  (1') если $\dim V<\infty$, то $\dim V/U=\dim V-\dim U$;
  (2) если $\dim V<\infty$, $Y$ — вект. пр.-во над $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, то $\dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V$ (это теорема о размерностях ядра и образа).
• Прямая сумма $U\oplus W$: $U\times W$ с покомпонентными операциями. Обобщение ($I$ — мн.-во): $\bigoplus _{i\in I}V_{i}=\{f\in \mathrm {FinFunc} (I,\bigcup _{i\in I}V_{i})\mid \forall \,i\in I\;{\bigl (}f(i)\in V_{i}{\bigr )}\}$.
• Теорема о прямой сумме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k}\leq V$; обозначим через $\mathrm {add}$
  линейный оператор ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}&\to V\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}+\ldots +v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) если $B_{1},\ldots ,B_{k}$ — базисы пространств $V_{1},\ldots ,V_{k}$ соответственно, то $\{(b_1,0,\ldots,0)\mid b_1\in B_1\}\cup\ldots\cup\{(0,\ldots,0,b_k)\mid b_k\in B_k\}$ —
  базис пространства $V_1\oplus\ldots\oplus V_k$ (и, значит, если дополнительно $\mathrm {add}$ — изоморфизм, то $B_{1}\cup \ldots \cup B_{k}$ — базис пространства $V$);
  (1') если $\dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty$, то $\dim(V_1\oplus\ldots\oplus V_k)=\dim V_1+\ldots+\dim V_k$;
  (2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) $\mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)$, (у2) $\forall \,v\in V\;\exists !\,v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\;{\bigl (}v=v_{1}+\ldots +v_{k}{\bigr )}$ и
  (у3) $\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}V_{i}\cap (V_{1}+\ldots +V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots +V_{k})=\{0\}{\bigr )}\,\land \,V=V_{1}+\ldots +V_{k}$;
  (3) если $\dim V<\infty$, то в пункте (2) условие "$\,V=V_1+\ldots+V_k\!$" можно заменить на условие "$\,\dim V=\dim V_1+\ldots+\dim V_k\!$";
  (4) если $U,W\leq V$ и $\dim U,\dim W<\infty$, то $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ (это формула Грассмана).
• Внутренняя прямая сумма: $V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)$. Лемма об инвариантном подпространстве. Прямая сумма матриц.

  Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$, $U\leq V$ и
  $a(U)\subseteq U$ (то есть $U$ — $a$-инвариантное подпространство), а также $n'=\dim U$ и $n''\!=n-n'$; тогда
  (1) существуют такие $e\in \mathrm {OB} (V)$, $a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)$, $a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (n',n'',K)$, что $a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$;
  (2) если $W\leq V$, $V=U\oplus W$ и $a(W)\subseteq W$, то существуют такие $e\in \mathrm {OB} (V)$, $a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)$ и $a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)$, что $a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$.

• Двойственное пространство: $V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)$. Двойственный базис: $e^{j}=e_{j}^{*}={\bigl (}v\mapsto (v^{e})^{j}{\bigr )}$. Столбец $e^{*}\!={\biggl (}{\begin{smallmatrix}e^{1}\\\vdots \\e^{n}\end{smallmatrix}}{\biggr )}$. Строка координат ковектора: $\lambda_e$.
• Утверждение: $\lambda=\lambda_e\cdot e^*\!$ и $\lambda (v)=\lambda _{e}\cdot v^{e}$. Изоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K_{n}\!\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Преобр.-я при замене базиса: $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$, $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$ и $\,\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*$.
• Двойственный оператор ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$): $\biggl(\!\begin{align}a^*\colon Y^*\!&\to V^*\\\theta&\mapsto\theta\circ a\end{align}\!\biggr)$. Утверждение: если $\dim V<\infty$, то ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to V^{**}\\v&\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм вект. пр.-в.

ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$)
Инвариантный объект	Координаты относительно базиса	Преобразование координат при замене базиса	Пример использования в геометрии и физике
вектор $v$ — элемент пространства $V$ (тензор типа $(1,0)$ над $V$)	${\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$	скорость в точке гладкой кривой на многообразии
ковектор $\lambda$ — элемент пространства $V^{*}$ (тензор типа $(0,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}V^{*}\!&\to K_{n}\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$	дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии
эндоморфизм $a$ — элемент пространства $\mathrm {End} (V)$ (тензор типа $(1,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм колец и векторных пространств)	матричная запись: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}{\Bigr )}\!$	дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя

7   Линейные операторы (часть 1)

7.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса

• Ранг линейного оператора $a$: $\mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a$. Ранги матрицы $a$ по столбцам и по строкам: $\mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1}^{\bullet },\ldots ,a_{n}^{\bullet }\rangle$ и $\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a_{\bullet }^{1},\ldots ,a_{\bullet }^{p}\rangle$.
• Утверждение: $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})$, $\mathrm{rk}(a^*)=\mathrm{rk}((a_e^h)^\mathtt T)$ и $\mathrm{rk}(a+b)\le\mathrm{rk}(a)+\mathrm{rk}(b)$. Тензорное произв.-е вектора $y$ и ковектора $\lambda$: $(y\otimes\lambda)(v)=\lambda(v)\,y$.
• Утверждение: $y\otimes\lambda\in\mathrm{Hom}(V,Y)$, $\mathrm{rk}(y\otimes\lambda)\le1$ и $(y\otimes\lambda)_e^h=y^h\cdot\lambda_e$. Теорема о свойствах ранга. Утверждение: $\mathrm{rk}(b\circ a)\le\min(\mathrm{rk}(a),\mathrm{rk}(b))$.

  Теорема о свойствах ранга. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$, $\dim V,\dim Y<\infty$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда
  (1) $\mathrm{rk}(a)=\dim V-\dim\mathrm{Ker}\,a$ и $\mathrm {rk} (a)\leq \min(\dim V,\dim Y)$;
  (2) $\mathrm{rk}(a)=\min\,\{m\in\mathbb N_0\!\mid\exists\,y_1,\ldots,y_m\in Y,\,\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in V^*\,\bigl(a=y_1\otimes\lambda_1+\ldots+y_m\otimes\lambda_m\bigr)\}$;
  (3) сущ.-т такие $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $h\in \mathrm {OB} (Y)$, что $a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}$ (это теорема о приведении матрицы оператора к почти единичному виду)
  (матричн. формулировка: для любых $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ сущ.-т такие $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\!\in\mathrm{GL}(n,K)$, что $g\cdot a\cdot g'=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}$);
  (4) $\mathrm{rk}(a^*)=\mathrm{rk}(a)$ (матричная формулировка: для любых $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ выполнено $\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\mathrm{rk}(a)$).

• Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): $\mathrm{id}_n+c\,\mathbf e_i^j$ ($c\in K$, $i\neq j$). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): $\mathrm{id}_n-\mathbf e_i^i+c\,\mathbf e_i^i$ ($c\in K^\times$).
• Элементарные преобр.-я над строками 1-го типа и 2-го типа: $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathbf {e} _{i}^{k})\cdot a$ и $a\mapsto(\mathrm{id}_p-\mathbf e_i^i+c\,\mathbf e_i^i)\cdot a$. Элементарные преобр.-я над столбцами.
• Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Приведение матрицы к строго ступенч. виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) существуют такие $l\in \mathbb {N} _{0}$ и элементарные матрицы $g_{1},\ldots ,g_{l}$ размера $p\times p$ над полем $K$, что $g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a$ — ступенчатая матрица;
  (2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства $\langle a_{\bullet }^{1},\ldots ,a_{\bullet }^{p}\rangle$ (и, значит, их количество равно $\mathrm {rk} (a)$).

• Метод Гаусса для реш.-я системы $a\cdot v=y$: прив.-е ${\bigl (}a_{1}^{\bullet }\;\ldots \;a_{n}^{\bullet }\;\,y{\bigr )}$ к ступенч. виду. Главные и свободные перем.-е. Фундаментальная система решений.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $y\in K^{p}$; тогда
  (1) $\dim\,\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}=n-\mathrm{rk}(a)$ и, если $n>p$, то $\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}\neq \{0\}$;
  (2) $\mathrm {rk} (a)\leq \mathrm {rk} {\bigl (}\!{\bigl (}a_{1}^{\bullet }\;\ldots \;a_{n}^{\bullet }\;\,y{\bigr )}\!{\bigr )}$, а также, если $\mathrm {rk} (a)<\mathrm {rk} {\bigl (}\!{\bigl (}a_{1}^{\bullet }\;\ldots \;a_{n}^{\bullet }\;\,y{\bigr )}\!{\bigr )}$, то $\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=y\}=\varnothing$, и, если $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} {\bigl (}\!{\bigl (}a_{1}^{\bullet }\;\ldots \;a_{n}^{\bullet }\;\,y{\bigr )}\!{\bigr )}$, то
  $\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=y\}$ — аффинное подпространство в $K^{n}$ с направляющим подпространством $\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}$.

7.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема

• Пространства полилинейных операторов $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$ и $\mathrm {Multi} _{k}(V,Y)$. Пространства полилинейных форм $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},K)$ и $\mathrm {Multi} _{k}V$.
• Простр.-ва билинейных операторов $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},Y)$ и $\mathrm {Bi} (V,Y)$. Простр.-ва билинейных форм $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},K)$ и $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры полилин. операт. и форм.
• Перестановка аргументов форм: $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{paf}_u\colon\mathrm{Multi}_kV&\to\mathrm{Multi}_kV\\\omega&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$. Действие $\mathrm{paf}$ группы $\mathrm {S} _{k}$: $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{paf}\,\colon\mathrm S_k\!&\to\mathrm{GL}(\mathrm{Multi}_kV)\\u&\mapsto\mathrm{paf}_u\end{align}\!\biggr)$.
• Пространство симметричных полилинейных форм: $\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{paf}_{(i\;j)}(\omega)=\omega\bigr)\}\le\mathrm{Multi}_kV$.
• Пр.-во антисимм. полилин. форм: $\mathrm {AMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,v_{1},\ldots ,v_{k}\in V\;{\bigl (}\exists \,i,j\in \{1,\ldots ,k\}\;(i\neq j\,\land \,v_{i}=v_{j})\,\Rightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})=0{\bigr )}\}$.
• Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) $\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}$;
  (2) $\mathrm{AMulti}_kV\subseteq\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{paf}_{(i\;j)}(\omega)=-\omega\bigr)\}=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}$ и, если
  $\mathrm {char} \,K\neq 2$, то "$\,\subseteq$" можно заменить на "$\,=$".
• Простр.-во форм объема: $\mathrm {VF} (V)=\mathrm {AMulti} _{n}V$, где $n=\dim V$. Форма объема, связанная с упоряд. базисом $e$: $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\det \!{\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{n}^{e}{\bigr )}$.
• Теорема о формах объема. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) $\mathrm{vol}^e\!\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}$, $\mathrm{vol}^e(e_1,\ldots,e_n)=1$ и для любых $\omega \in \mathrm {VF} (V)$ выполнено $\omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}$;
  (2) множество $\{\mathrm {vol} ^{e}\}$ — базис пространства $\,\mathrm {VF} (V)$ (и, значит, $\dim \mathrm {VF} (V)=1$) и для любых ${\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$ выполнено $\mathrm{vol}^\tilde e\!=\det\mathrm c_e^\tilde e\,\mathrm{vol}^e$;
  (3) для любых $\omega \in \mathrm {VF} (V)\!\setminus \!\{0\}$ и $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ выполнено $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0$.

7.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора

• Определитель линейн. оператора $a$ ($a\in \mathrm {End} (V)$): $\det a={\frac {\omega (a(v_{1}),\ldots ,a(v_{n}))}{\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})}}$, где $\omega \in \mathrm {VF} (V)\!\setminus \!\{0\}$ и $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)$. Корректность опр.-я.
• Утверждение: $\det a=\mathrm {vol} ^{e}(a(e_{1}),\ldots ,a(e_{n}))=\det a_{e}^{e}$. Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: $\mathrm {SL} (V)=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \det a=1\}$.

  Теорема о свойствах определителя. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда отображение
  ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to K\\a&\mapsto \det a\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм моноидов по умножению, а также $\,\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}$.

• Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: $\mathrm{adj}(a)^j_i=(-1)^{i+j}$${\bigl (}$дополнит. минор матрицы $a$ в позиции $(i,j)$${\bigr )}$.
• Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Сравнение эффективности явных формул для нахождения $\det a$, $a^{-1}$, $a^{-1}\!\cdot y\,$ и метода Гаусса.

  Теорема о присоединенной матрице. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,R)$; тогда
  (1) для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}=\det a$ и для любых $j\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}\,a_{j}^{i}=\det a$
  (это формулы разложения определителя матрицы $a$ по $i$-й строке матрицы $a$ и по $j$-му столбцу матрицы $a$ соответственно);
  (2) для любых $i,k\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{k}^{j}=\det a\cdot \delta _{k}^{i}$ и для любых $j,l\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{l}\,a_{j}^{i}=\det a\cdot \delta _{j}^{l}$;
  (3) $a\cdot \mathrm {adj} (a)=\mathrm {adj} (a)\cdot a=\det a\cdot \mathrm {id_{n}}$ и, если $\det a\in R^\times$, то $\,a^{-1}\!=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)$ (и, значит, $\mathrm {GL} (n,R)=\{a\in \mathrm {Mat} (n,R)\mid \det a\in R^{\times }\}$).

  Правило Крамера. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {GL} (n,K)$, $y\in K^{n}$ и $j\in \{1,\ldots ,n\}$; тогда $(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac1{\det a}\det\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_{j-1}\;\,y\;\;a^\bullet_{j+1}\;\ldots\;a^\bullet_n\bigr)$.

• Теорема о базисном миноре. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда $\mathrm {rk} (a)$ равен максимальному среди всех таких чисел $m\in \mathbb {N} _{0}$,
  что в матрице $a$ существует такая подматрица $a'$ размера $m\times m$, что $\det a'\neq 0$ (то есть $a'\!\in\mathrm{GL}(m,K)$).
• Собственные число и вектор лин. операт. $a$: $a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0$. Спектр лин. опер. $a$: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}$. Лемма о спектре.

  Лемма о спектре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное простр.-во над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)$
  и, если $\dim V<\infty$, то "$\,\subseteq$" можно заменить на "$\,=$".

• Характеристический многочлен матрицы $a$: $\chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)$. Характеристический многочлен лин. оператора $a$: $\chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}$. Корректность опред.-я.
• Утверждение: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}$. След лин. оператора $a$: $\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e$. Корректность опр.-я. Теорема о характеристическом многочлене.

  Теорема о характеристическом многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  $\chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a$ и, если $c_1,\ldots,c_n\in K$ и $\chi_a=(x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_n)$, то $\det a=c_1\cdot\ldots\cdot c_n$ и $\mathrm{tr}\,a=c_1+\ldots+c_n$.