Test page

Formulas were compiled before January 16th, 2018. Formulas differ from the text, this is nice.

• Кольцо комплексных чисел: $\mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$, где $\mathrm {i} ^{2}=-1$. Утверждение: $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$. Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$.
• Вещественная и мнимая части: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta$. Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i}$. Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых $a\in \mathbb {C}$ выполнено $a\,{\overline {a}}=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$, то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {C}$ — поле).
  (2) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb {C}$).
  (3) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).

Formulas were compiled January 16th, 2018. Formulas do not differ from the text, this is not nice.

• Кольцо комплексных чисел: $\mathbb C=\{\alpha+\beta\,\mathrm i\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\}{}$, где $\mathrm i^2=-1{}$. Утверждение: $\mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1){}$. Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb R^2{}$.
• Вещественная и мнимая части: $\mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\alpha{}$ и $\mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\beta{}$. Сопряжение: $\overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)\,\mathrm i{}$. Модуль: $|a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\mathrm{Im}(a)^2}{}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых $a\in\mathbb C{}$ выполнено $a\,\overline a=|a|^2{}$ и, если $a\ne0{}$, то $a^{-1}\!=\!\frac{\overline a}{|a|^2}$ (и, значит, $\mathbb C{}$ — поле).
  (2) Для любых $a,b\in\mathbb C{}$ выполнено $\overline{a+b}=\overline a+\overline b{}$ и $\overline{a\,b}=\overline a\,\overline b{}$ (и, значит, отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr){}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb C{}$).
  (3) Для любых $a,b\in\mathbb C{}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|{}$ (и, значит, отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathbb C^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr){}$ — гомоморфизм групп).

There are formulas that were compiled before January 16th, 2018, and formulas that were compiled January 16th, 2018. Rasterization is different.

• $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$. $(X+Y)+Z=X+(Y+Z)$. $X\cup Y=Y\cup X$. $X+Y=Y+X$.