Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями

Версия 05:05, 6 января 2017

2  Линейная алгебра

2.1  Векторные пространства

2.1.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ — абелева группа с умножением на скаляры из ${\displaystyle K}$, являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,Y)}$ — векторное пространство. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$, группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)}$.
• Подпространство: ${\displaystyle U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U}$. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle \leq V\;\land \;\forall \,U\leq V\;{\bigl (}D\subseteq U\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq U{\bigr )}}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}}$. Линейная комбинация элементов мн.-ва ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \sum _{d\in D}f(d)\,d=f(d_{1})\,d_{1}+\ldots +f(d_{m})\,d_{m}}$.
• Ядро и образ линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a\leq V}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Теорема о слоях и ядре линейного оператора.

  Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle y\in Y}$ и ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$ выполнено ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$ (и, значит, ${\displaystyle \{a^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,a\}=V/\,\mathrm {Ker} \,a}$);
  (2) ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)}$, если и только если ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Матричная запись системы из ${\displaystyle p}$ линейных урав.-й от ${\displaystyle n}$ переменных: ${\displaystyle a\cdot x=y}$, где ${\displaystyle x\in K^{n}}$, ${\displaystyle y\in K^{p}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Однородная система: ${\displaystyle y=0}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle a\cdot x_{0}=y}$; тогда ${\displaystyle \{x\in K^{n}\!\mid a\cdot x=y\}=x_{0}+\{x\in K^{n}\!\mid a\cdot x=0\}}$. Линейные дифференц. уравнения и системы уравнений.

2.1.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы

• ${\displaystyle C}$ — независимое мн.-во: ${\displaystyle \forall \,f\in \mathrm {FinFunc} (C,K)\;{\bigl (}\sum _{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0{\bigr )}}$. ${\displaystyle D}$ — порождающее мн.-во: ${\displaystyle V=\langle D\rangle }$. Базис — независ. порожд. мн.-во.
• Стандартные базисы пространств ${\displaystyle K^{n}}$, ${\displaystyle K_{n}}$ и ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{{\underline {e}}_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$, ${\displaystyle \{{\underline {e}}^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$ и ${\displaystyle \{{\underline {e}}_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Теорема о свойствах базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B\subseteq V}$; тогда следующие условия эквивалентны:
  (у1) ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$;
  (у2) отображение ${\displaystyle {\Biggl (}\!{\begin{aligned}\,\mathrm {FinFunc} (B,K)&\to V\\f&\mapsto \sum _{b\in B}f(b)\,b\end{aligned}}\!{\Biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (у3) для любого вектора ${\displaystyle v\in V}$ существует единственная такая функция ${\displaystyle f\in \mathrm {FinFunc} (B,K)}$, что ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}f(b)\,b}$;
  (у4) ${\displaystyle B}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ и для любого вектора ${\displaystyle v\in V\!\setminus \!B}$ множество ${\displaystyle B\cup \{v\}}$ не является независимым подмножеством в ${\displaystyle V}$
  (то есть ${\displaystyle B}$ — максимальное независимое множество);
  (у5) ${\displaystyle B}$ — порождающее подмножество в ${\displaystyle V}$ и для любого вектора ${\displaystyle b\in B}$ множество ${\displaystyle B\!\setminus \!\{b\}}$ не является порождающим подмножеством в ${\displaystyle V}$
  (то есть ${\displaystyle B}$ — минимальное порождающее множество).
• Теорема об универсальности базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$; тогда
  для любых ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Func} (B,Y)}$ существует единственный такой линейный оператор ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, что ${\displaystyle a|_{B}=\alpha }$ (и, значит, отображение
  ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Func} (B,Y)\\a&\mapsto a|_{B}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)}$, если и только если ${\displaystyle a(B)}$ — независимое множество;
  (2) ${\displaystyle a\in \mathrm {Surj} (V,Y)}$, если и только если ${\displaystyle a(B)}$ — порождающее множество;
  (3) ${\displaystyle a\in \mathrm {Iso} (V,Y)}$, если и только если ${\displaystyle a(B)}$ — базис пространства ${\displaystyle Y}$.
• Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle C,D\subseteq V}$ и ${\displaystyle |D|<\infty }$; тогда
  (1) если ${\displaystyle C}$ — независимое множество и ${\displaystyle C\subseteq \langle D\rangle }$, то ${\displaystyle |C|\leq |D|}$;
  (2) если ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ — базисы пространства ${\displaystyle V}$, то ${\displaystyle |C|=|D|}$.
• Теорема о построении базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle C,D\subseteq V}$ и ${\displaystyle |D|<\infty }$, а также в пространстве ${\displaystyle V}$
  существует конечное порождающее подмножество; тогда
  (1) если ${\displaystyle C}$ — независимое множество, то существует такой базис ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle C\subseteq B}$ (то есть ${\displaystyle C}$ можно дополнить до базиса);
  (2) если ${\displaystyle D}$ — порождающее множество, то существует такой базис ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle B\subseteq D}$ (то есть из ${\displaystyle D}$ можно выделить базис);
  (3) в пространстве ${\displaystyle V}$ существует базис.

2.1.3  Размерность и координаты

• Размерность ${\displaystyle \dim V}$ пространства ${\displaystyle V}$: порядок (мощность) базиса. Примеры: ${\displaystyle \dim K^{n}\!=\dim K_{n}\!=n}$, ${\displaystyle \dim \mathrm {Mat} (p,n,K)=n\,p}$, ${\displaystyle \dim K[x]=\infty }$.
• Теорема о свойствах размерности. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V}$,
  ${\displaystyle D}$ — порождающее подмножество в ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда
  (1) ${\displaystyle |C|\leq \dim V}$ и, если ${\displaystyle |C|=\dim V}$, то ${\displaystyle C}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$;
  (2) ${\displaystyle |D|\geq \dim V}$ и, если ${\displaystyle |D|=\dim V}$, то ${\displaystyle D}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$;
  (3) ${\displaystyle \dim U\leq \dim V}$ и, если ${\displaystyle \dim U=\dim V}$, то ${\displaystyle U=V}$.
• Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing }$, если и только если ${\displaystyle \dim V\leq \dim Y}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing }$, если и только если ${\displaystyle \dim V\geq \dim Y}$;
  (3) ${\displaystyle V\cong Y}$, если и только если ${\displaystyle \dim V=\dim Y}$;
  (4) если ${\displaystyle \dim V=\dim Y}$, то ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$ (это принцип Дирихле для линейных операторов).
• Множество упорядоченных базисов: ${\displaystyle \mathrm {OB} (V)}$. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Матрица линейн. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}^{\bullet }=a(e_{j})^{h}}$. Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

  Теорема о матрице линейного оператора.
  (1) Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle p=\dim Y<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ и ${\displaystyle h\in \mathrm {OB} (Y)}$; тогда
  ${\displaystyle \forall \,a\in \mathrm {Hom} (V,Y),\,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}}$, а также отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Mat} (p,n,K)&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\a&\mapsto {\bigl (}v\mapsto h\cdot a\cdot v^{e}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ —
  взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  (2) Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,X,Z}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V,\dim X,\dim Z<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, ${\displaystyle f\in \mathrm {OB} (X)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {OB} (Z)}$,
  а также ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,X)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Hom} (X,Z)}$; тогда ${\displaystyle (b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}}$.

• Матрицы замены координат и замены базиса (${\displaystyle e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)}$): ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$ и ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Пример: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\underline {e}}\!=e}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$, ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}}$.
• Преобразование столбца координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$; то же в покомпонентной записи: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$. Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$.
• Преобразование матрицы линейного оператора: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$; то же в покомпонентной записи (если ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

2.1.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство

• Факторпростр.-во: ${\displaystyle V/U}$ с фактороперациями (${\displaystyle U\leq V}$). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: ${\displaystyle K^{n}\!/\langle {\underline {e}}_{i}\rangle \cong K^{n-1}}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.

• Теорема о факторпространстве. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle A}$ — базис пр.-ва ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B}$ — базис пр.-ва ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle A\subseteq B}$; тогда
  (1) все классы смежности ${\displaystyle b+U}$, где ${\displaystyle b\in B\!\setminus \!A}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства ${\displaystyle V/U}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \dim V/U=\dim V-\dim U}$;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle Y}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, то ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$ (это теорема о размерностях ядра и образа).
• Прямая сумма ${\displaystyle U\oplus W}$: ${\displaystyle U\times W}$ с покомпонентными операциями. Обобщение (${\displaystyle I}$ — мн.-во): ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\{f\in \mathrm {FinFunc} (I,\bigcup _{i\in I}V_{i})\mid \forall \,i\in I\;{\bigl (}f(i)\in V_{i}{\bigr )}\}}$.
• Теорема о прямой сумме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}\leq V}$; обозначим через ${\displaystyle \mathrm {add} }$
  отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}&\to V\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}+\ldots +v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle \mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)}$ и ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ — базисы пространств ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ соответ.-но, то ${\displaystyle B_{1}\cup \ldots \cup B_{k}}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$;
  (2) следующие условия эквивалентны: (у1) ${\displaystyle \mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)}$, (у2) ${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\;{\bigl (}v=v_{1}+\ldots +v_{k}{\bigr )}}$ и
  (у3) ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}V_{i}\cap (V_{1}+\ldots +V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots +V_{k})=\{0\}{\bigr )}\,\land \,V=V_{1}+\ldots +V_{k}}$;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то след. усл.-я эквивалентны: (у1) ${\displaystyle \mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)}$, (у2) ${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\;{\bigl (}v=v_{1}+\ldots +v_{k}{\bigr )}}$ и
  (у3) ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}V_{i}\cap (V_{1}+\ldots +V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots +V_{k})=\{0\}{\bigr )}\,\land \,\dim V=\dim V_{1}+\ldots +\dim V_{k}}$;
  (4) если ${\displaystyle U,W\leq V}$ и ${\displaystyle \dim U,\dim W<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W}$ (это формула Грассмана).
• Внутренняя прямая сумма: ${\displaystyle V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)}$. Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма.

  Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle U\leq V}$ и ${\displaystyle a(U)\subseteq U}$ (то есть ${\displaystyle U}$ — ${\displaystyle a}$-инвариантное подпространство), а также ${\displaystyle n'=\dim U}$ и ${\displaystyle n''=n-n'}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, ${\displaystyle a'\in \mathrm {Mat} (n',K)}$, ${\displaystyle a''\in \mathrm {Mat} (n'',K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (n',n'',K)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}$;
  (2) если ${\displaystyle W\leq V}$, ${\displaystyle V=U\oplus W}$ и ${\displaystyle a(W)\subseteq W}$, то существуют такие ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, ${\displaystyle a'\in \mathrm {Mat} (n',K)}$ и ${\displaystyle a''\in \mathrm {Mat} (n'',K)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}$.

• Двойственное пространство: ${\displaystyle V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)}$. Двойственный базис: ${\displaystyle e^{j}=e_{j}^{*}={\bigl (}v\mapsto (v^{e})^{j}{\bigr )}}$. Столбец ${\displaystyle e^{*}\!={\biggl (}{\begin{smallmatrix}e^{1}\\\vdots \\e^{n}\end{smallmatrix}}{\biggr )}}$. Строка координат ковектора.
• Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}}$. Изоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K_{n}\!\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle \lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$ и ${\displaystyle \lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}}$, а также ${\displaystyle {\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}}$.
• Сопоставление ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}*\,\colon \mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Hom} (Y^{*},V^{*})\\a&\mapsto {\bigl (}\xi \mapsto \xi \circ a{\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to V^{**}\\v&\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм.