Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
<li>Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов. | <li>Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов. | ||
<li>Подпространство: <math>U\le V\,\Leftrightarrow\,U+U\subseteq U\,\land\,0\in U\,\land\,K\,U\subseteq U</math>. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle\le V\;\land\;\forall\,U\le V\;\bigl(D\subseteq U\,\Leftrightarrow\,\langle D\rangle\subseteq U\bigr)</math>. | <li>Подпространство: <math>U\le V\,\Leftrightarrow\,U+U\subseteq U\,\land\,0\in U\,\land\,K\,U\subseteq U</math>. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle\le V\;\land\;\forall\,U\le V\;\bigl(D\subseteq U\,\Leftrightarrow\,\langle D\rangle\subseteq U\bigr)</math>. | ||
| − | <li>Утверждение: <math>\langle D\rangle=\bigl\{\sum_{d\in D}f(d)\,d\mid f\in\mathrm{FinFunc}(D,K)\bigr\}</math>. Линейная комбинация: <math>\sum_{d\in D}f(d)\,d= | + | <li>Утверждение: <math>\langle D\rangle=\bigl\{\sum_{d\in D}f(d)\,d\mid f\in\mathrm{FinFunc}(D,K)\bigr\}</math>. Линейная комбинация элементов мн.-ва <math>D</math>: <math>\sum_{d\in D}f(d)\,d=f(d_1)\,d_1+\ldots+f(d_m)\,d_m</math>. |
<li>Ядро и образ линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,a\le V</math>, <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math></i>. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры. | <li>Ядро и образ линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,a\le V</math>, <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math></i>. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры. | ||
<p><u>Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math> (и, значит, <math>\{a^{-1}(y)\mid y\in\mathrm{Im}\,a\}=V/\,\mathrm{Ker}\,a</math>);<br>(2) <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)</math>, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math> (и, значит, <math>\{a^{-1}(y)\mid y\in\mathrm{Im}\,a\}=V/\,\mathrm{Ker}\,a</math>);<br>(2) <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)</math>, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | ||
| − | <li>Факторпростр.-во: <math>V/U</math> с фактороперациями (<math>U\le V</math>). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: <math>K^n\!/\langle\underline | + | <li>Факторпростр.-во: <math>V/U</math> с фактороперациями (<math>U\le V</math>). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: <math>K^n\!/\langle\underline e_i\rangle\cong K^{n-1}</math>. |
<p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></p> | ||
<li>Прямая сумма <math>U\oplus W</math>: <math>U\times W</math> с покомпонентными операциями. Обобщение (<math>I</math> — мн.-во): <math>\bigoplus_{i\in I}V_i=\{f\in\mathrm{FinFunc}(I,\bigcup_{i\in I}V_i)\mid\forall\,i\in I\;\bigl(f(i)\in V_i\bigr)\}</math>.</ul> | <li>Прямая сумма <math>U\oplus W</math>: <math>U\times W</math> с покомпонентными операциями. Обобщение (<math>I</math> — мн.-во): <math>\bigoplus_{i\in I}V_i=\{f\in\mathrm{FinFunc}(I,\bigcup_{i\in I}V_i)\mid\forall\,i\in I\;\bigl(f(i)\in V_i\bigr)\}</math>.</ul> | ||
<h5>2.1.2 Базисы, координаты, размерность</h5> | <h5>2.1.2 Базисы, координаты, размерность</h5> | ||
| − | <ul><li><u>Теорема о размерностях ядра и образа и принцип Дирихле для линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,Y</math> — вект. | + | <ul><li><math>C</math> — независимое подмножество в <math>V</math>: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow\,f=0\bigr)</math>. Базис — независимое и порождающее подмножество. |
| + | <li>Стандартные базисы пространств <math>K^n</math>, <math>K_n</math> и <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\underline e_i\mid i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>, <math>\{\underline e^j\mid j\in\{1,\ldots,n\}\}</math> и <math>\{\underline e_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. | ||
| + | <li><u>Теорема о свойствах базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>B\subseteq V</math>; тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>;<br>(2) отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\,\mathrm{FinFunc}(B,K)&\to V\\f&\mapsto\sum_{b\in B}f(b)\,b\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(3) для любого вектора <math>v\in V</math> существует единственная такая функция <math>f\in\mathrm{FinFunc}(B,K)</math>, что <math>v=\sum_{b\in B}f(b)\,b</math>;<br>(4) <math>B</math> — независимое подмножество в <math>V</math> и для любого вектора <math>v\in V\!\setminus\!B</math> множество <math>B\cup\{v\}</math> не является независимым подмножеством в <math>V</math><br>(то есть <math>B</math> — максимальное независимое подмножество в <math>V</math>);<br>(5) <math>B</math> — порождающее подмножество в <math>V</math> и для любого вектора <math>b\in B</math> множество <math>B\!\setminus\!\{b\}</math> не является порождающим подмножеством в <math>V</math><br>(то есть <math>B</math> — минимальное порождающее подмножество в <math>V</math>).</i> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <li>Отступление о свойствах базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U=\dim V<\infty</math>; тогда <math>U=V</math></i>.</ul> | ||
| + | |||
| + | <!--<h5>2.1.3 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов и преобразования координат при замене базиса</h5> | ||
| + | <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}\!\biggr)</math>. | ||
| + | <li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <i><math>a(e)=h\cdot a_e^h</math> и <math>\forall\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math></i>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>. | ||
| + | <li>Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math>. Изоморфизм колец и векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>. | ||
| + | <li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm c_\tilde e^e)^{-1}</math></i>. | ||
| + | <li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>. | ||
| + | <li>Преобразование координат гомоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись (если <math>a</math> — эндоморфизм): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul> | ||
| + | |||
| + | <h5>2.1.4 Факторпространства и прямая сумма векторных пространств</h5> | ||
| + | <ul><li>Факторпространство: <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>A</math> — базис в <math>U</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math>, <math>A\subseteq B</math>; тогда <math>\{b+U\mid b\in B\setminus A\}</math> — базис в <math>V/U</math></i>. | ||
| + | <li>Прямая сумма векторных пространств: <math>U\oplus W</math>. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств. | ||
| + | <p><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U,W\le V</math>;<br>обозначим через <math>\mathrm{add}_{U,W}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Hom}(U\oplus W,V)</math>, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{add}_{U,W}\cong U\cap W</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{add}_{U,W}=U+W</math>;<br>(2) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,v\in V\;\exists!\,u\in U,\,w\in W\;\bigl(v=u+w\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;U+W=V</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;\dim U+\dim W=\dim V</math>;<br>(4) если <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана).</i></p> | ||
| + | <li>Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: <math>a(U)\le U</math>. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство. | ||
| + | <li>Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.</ul> | ||
| + | |||
| + | <h5>2.1.5 Двойственное пространство</h5> | ||
| + | <ul><li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j(v)=(v^e)^j</math>. Утверждение: <math>\lambda=\!\sum_{j=1}^{\dim V}\!\lambda(e_j)e^j</math>. Столбец <math>e^*</math>. | ||
| + | <li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>. | ||
| + | <li>Отождествление пространств <math>V</math> и <math>V^{**}</math> в случае конечномерного пространства <math>V</math> при помощи изоморфизма <math>\,v\mapsto\!\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K\\\lambda&\mapsto\lambda(v)\end{align}\!\biggr)</math>. | ||
| + | <li>Сводная таблица о координатах. (В таблице <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>.)</ul> | ||
| + | <p><table border cellpadding="3" cellspacing="0"> | ||
| + | <tr><th>Инвариантный объект</th><th>Координаты<br>относительно базиса</th><th>Преобразование координат<br>при замене базиса</th><th>Пример использования<br>в геометрии и физике</th></tr> | ||
| + | <tr align="center"><td>вектор <math>v</math> —<br>элемент пространства <math>V</math><br>(тензор типа <math>(1,0)</math> над <math>V</math>)</td> | ||
| + | <td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td> | ||
| + | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr> | ||
| + | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr> | ||
| + | <tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td> | ||
| + | <td>скорость в точке<br>гладкого пути<br>на многообразии</td></tr> | ||
| + | <tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td> | ||
| + | <td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td> | ||
| + | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr> | ||
| + | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr> | ||
| + | <tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math></td></tr></table></td> | ||
| + | <td>дифференциал в точке<br>гладкой функции (скалярного поля)<br>на многообразии</td></tr> | ||
| + | <tr align="center"><td>эндоморфизм <math>a</math> —<br>элемент пространства <math>\mathrm{End}(V)</math><br>(тензор типа <math>(1,1)</math> над <math>V</math>)</td> | ||
| + | <td><math>\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм колец<br>и векторных пространств)</td> | ||
| + | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr> | ||
| + | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k\Bigr)</math></td></tr></table></td> | ||
| + | <td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table></p> | ||
| + | |||
| + | <h5>2.1.6 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5> | ||
| + | <ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. | ||
| + | <li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathrm{se}_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\mathrm{se}_i^i)\cdot a</math>. | ||
| + | <li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_j^j)</math>. | ||
| + | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. | ||
| + | <p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p> | ||
| + | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul> | ||
| + | |||
| + | <h3>2.2 Линейные операторы (часть 1)</h3> | ||
| + | <h5>2.2.1 Ранг линейного оператора и системы линейных уравнений</h5> | ||
| + | <ul><li><u>Теорема о размерностях ядра и образа и принцип Дирихле для линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,Y</math> — вект. пространства над <math>K</math>; тогда<br>(1) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math> выполнено <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>;<br>(2) если <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>, то <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Iso}(V,Y)</math>.</i> | ||
| + | <li>Ранг линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы <math>a</math> (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. | ||
| + | <li>Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)\le\min\{\dim V,\dim Y\}</math>. Утверждение: <i><math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math> и <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>. | ||
| + | <li><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g\cdot a\cdot g')=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=\mathrm{se}_1^1+\mathrm{se}_2^2+\ldots+\mathrm{se}_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i> | ||
| + | <li>Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: <i>пусть <math>a\cdot v_0=y</math>; тогда <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math></i>. | ||
| + | <li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда <math>\exists\,v\in K^n\;\bigl(a\cdot v=y\bigr)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}((a\;\,y))</math>.</i> | ||
| + | <li>Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>.</ul>--> | ||
Версия 17:30, 4 января 2017
2 Линейная алгебра
2.1 Векторные пространства
2.1.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
- Векторное пространство над полем — абелева группа с умножением на скаляры из , являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
- Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): — векторное пространство. Кольцо , группа .
- Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
- Подпространство: . Подпростр.-во, порожд. мн.-вом : .
- Утверждение: . Линейная комбинация элементов мн.-ва : .
- Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: , . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.
Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено (и, значит, );
(2) , если и только если . - Факторпростр.-во: с фактороперациями (). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: .
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
2.1.2 Базисы, координаты, размерность
- — независимое подмножество в : . Базис — независимое и порождающее подмножество.
- Стандартные базисы пространств , и : , и .
- Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда следующие условия эквивалентны:
(1) — базис пространства ;
(2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) для любого вектора существует единственная такая функция , что ;
(4) — независимое подмножество в и для любого вектора множество не является независимым подмножеством в
(то есть — максимальное независимое подмножество в );
(5) — порождающее подмножество в и для любого вектора множество не является порождающим подмножеством в
(то есть — минимальное порождающее подмножество в ). - Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
