Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями

Версия 05:30, 4 января 2017

2  Линейная алгебра

2.1  Векторные пространства

2.1.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ — абелева группа с умножением на скаляры из ${\displaystyle K}$, являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
• Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,Y)}$ — векторное пространство. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$, группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)}$.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Подпространство: ${\displaystyle U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U}$. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle \leq V\;\land \;\forall \,U\leq V\;{\bigl (}D\subseteq U\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq U{\bigr )}}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}}$. Линейная комбинация: ${\displaystyle \sum _{d\in D}f(d)\,d=f_{1}d_{1}+\ldots +f_{m}d_{m}}$. Пример: ${\displaystyle K^{n}\!=\langle {\underline {e}}^{1},\ldots ,{\underline {e}}^{n}\rangle }$.
• Ядро и образ линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a\leq V}$, ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle y\in Y}$ и ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$ выполнено ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$ (и, значит, ${\displaystyle \{a^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,a\}=V/\,\mathrm {Ker} \,a}$);
  (2) ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)}$, если и только если ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Факторпростр.-во: ${\displaystyle V/U}$ с фактороперациями (${\displaystyle U\leq V}$). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: ${\displaystyle K^{n}\!/\langle {\underline {e}}^{1}\rangle \cong K^{n-1}}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.

• Прямая сумма ${\displaystyle U\oplus W}$: ${\displaystyle U\times W}$ с покомпонентными операциями. Обобщение (${\displaystyle I}$ — мн.-во): ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\{f\in \mathrm {FinFunc} (I,\bigcup _{i\in I}V_{i})\mid \forall \,i\in I\;{\bigl (}f(i)\in V_{i}{\bigr )}\}}$.

2.1.2  Базисы, координаты, размерность

• Теорема о размерностях ядра и образа и принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle V,Y}$ — вект. простр.-ва над ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$ выполнено ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V=\dim Y<\infty }$, то ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$.