Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями

Версия 23:10, 3 января 2017

2  Линейная алгебра

2.1  Векторные пространства

2.1.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ — абелева группа по сложению с действием поля ${\displaystyle K}$ эндоморфизмами по сложению.
• Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,Y)}$ — векторное пространство. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$, группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)}$.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Подпространство: ${\displaystyle U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U}$. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle \leq V\;\land \;\forall \,U\leq V\;{\bigl (}D\subseteq U\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq U{\bigr )}}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \langle D\rangle =\{c_{1}d_{1}+\ldots +c_{n}d_{n}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,c_{1},\ldots ,c_{n}\in K\}}$. Пример: ${\displaystyle K^{n}\!=\langle \{{\underline {e}}^{1},\ldots ,{\underline {e}}^{n}\}\rangle }$. Линейные комбинации.
• Ядро и образ линейн. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Утверждение: ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$. Лемма о слоях гомоморфизма.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, ${\displaystyle y\in Y}$ и ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$; тогда ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$.

• Факторпространство: ${\displaystyle V/U}$ с фактороперациями (${\displaystyle U\leq V}$). Корректность опр.-я факторопер.-й. Теорема о гомоморфизме. Пример: ${\displaystyle K^{n}\!/\langle {\underline {e}}^{1}\rangle \cong K^{n-1}}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.

• Прямая сумма ${\displaystyle U\oplus W}$: ${\displaystyle U\times W}$ с покомпонентными операциями. Обобщение (${\displaystyle I}$ — мн.-во): ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\{f\in \mathrm {FinFunc} (I,\bigcup _{i\in I}V_{i})\mid \forall \,i\in I\;{\bigl (}f(i)\in V_{i}{\bigr )}\}}$.

2.1.2  Базисы, координаты, размерность

• Теорема о размерностях ядра и образа и принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$ выполнено ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V=\dim Y<\infty }$, то ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$.