Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями

Версия 03:00, 30 октября 2016

3.4  Тензорные произведения векторных пространств

3.4.1  Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами

• Тензорное произв.-е пространств: ${\displaystyle V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}={\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}_{0}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathrm {FinFunc} (V_{1}\times \ldots \times V_{k},K)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ — пространство полилинеаризации.
• Разложимые тензоры: ${\displaystyle v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}=(v_{1},\ldots ,v_{k})+{\mathcal {F}}_{0}}$. Утверждение: ${\displaystyle V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}=\langle \{v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\mid v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\}\rangle }$.
• Ранг тензора ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle \mathrm {rk} (T)}$ равен минимальному среди всех таких чисел ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$, что ${\displaystyle T=T_{1}+\ldots +T_{m}}$, где ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{m}}$ — разложимые тензоры.
• Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k},Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$;
  тогда отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\times \ldots \times V_{k}&\to V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ полилинейно, и для любых ${\displaystyle f\in \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)}$ существует единственный
  такой гомоморфизм ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)}$, что для любых ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}}$ выполнено ${\displaystyle a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})=f(v_{1},\ldots ,v_{k})}$
  (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)&\to \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)\\a&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ —
  базисы пространств ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ соответственно; тогда ${\displaystyle \{b_{1}\otimes \ldots \otimes b_{k}\mid b_{1}\in B_{1},\ldots ,b_{k}\in B_{k}\}}$ — базис пространства ${\displaystyle V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}}$
  (и, значит, если ${\displaystyle \dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k})=\dim V_{1}\cdot \ldots \cdot \dim V_{k}}$).
• Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle V,W,X}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  ${\displaystyle (V\otimes W)\otimes X\cong V\otimes (W\otimes X)\cong V\otimes W\otimes X}$ и ${\displaystyle V\otimes K\cong K\otimes V\cong V}$, а также ${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V}$.
• Тензорное произв.-е тензоров: ${\displaystyle T\otimes T'}$. Тензорное произв.-е гомоморфизмов (${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y),b\in \mathrm {Hom} (W,Z)}$): ${\displaystyle (a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)}$.
• Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle V,W,Y,Z}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)\otimes \mathrm {Hom} (W,Z)&\to \mathrm {Hom} (V\otimes W,Y\otimes Z)\\a\otimes b&\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto a(v)\otimes b(w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
  если ${\displaystyle \dim V,\dim W,\dim Y,\dim Z<\infty }$, то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
  (2) отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}Y\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\y\otimes \lambda &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,y{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$, то
  данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
  (3) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to (V\otimes W)^{*}\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to \mathrm {Bi} (V,W,K)\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}(v,w)\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъективные гомоморфизмы векторных
  пространств, а также, если ${\displaystyle \dim V,\dim W<\infty }$, то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.

3.4.2  Тензорные алгебры и тензоры в координатах

• Пространство тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V=V^{\otimes p}\!\otimes (V^{*})^{\otimes q}}$. Примеры: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,0}^{0}V=K}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}V=V}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,1}V=V^{*}}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,1}^{1}V\cong \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,2}V\cong \mathrm {Bi} (V)}$.
• Примеры: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,2}^{1}V\cong \mathrm {Bi} (V,V,V)}$ — пространство структур алгебры на ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,1}^{2}V\cong \mathrm {Hom} (V,V\otimes V)}$ — пространство структур коалгебры на ${\displaystyle V}$.
• Утверждение: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,k}V\cong \mathrm {Multi} _{k}V}$. Алгебры контравариантных и ковариантных тензоров над ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{\bullet }V=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {T}}^{k}V}$ и ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\bullet }V=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {T}}_{\,k}V\cong \mathrm {Multi} (V)}$.
• Тензор в координатах: ${\displaystyle T=\!\!\!\!\!\sum _{i_{1},\ldots ,i_{p},j_{1},\ldots ,j_{q}}\!\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\!\otimes e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{q}}}$. Примеры: ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}(v^{e})^{i}e_{i}}$, ${\displaystyle \lambda =\sum _{j=1}^{n}(\lambda _{e})_{j}\,e^{j}}$, ${\displaystyle a=\!\!\sum _{1\leq i,j\leq n}\!\!(a_{e}^{e})_{j}^{i}\,e_{i}\otimes e^{j}}$.
• Примеры: ${\displaystyle \sigma =\!\!\sum _{1\leq j_{1},j_{2}\leq n}\!\!(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\,e^{j_{1}}\!\otimes e^{j_{2}}}$ — метрический тензор, ${\displaystyle \omega =\!\!\!\sum _{1\leq j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n}\!\!\!\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {sgn} ({\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&\ldots &n\\j_{1}&\ldots &j_{n}\end{smallmatrix}}{\bigr )})\,e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{n}}}$ — форма объема.
• Преобразование координат: ${\displaystyle T_{{\tilde {j_{1}}},\ldots ,{\tilde {j_{q}}}}^{{\tilde {i_{1}}},\ldots ,{\tilde {i_{p}}}}\!=\!\!\!\!\!\sum _{k_{1},\ldots ,k_{p},l_{1},\ldots ,l_{q}}\!\!\!\!\!(e_{k_{1}})^{\tilde {i_{1}}}\ldots (e_{k_{p}})^{\tilde {i_{p}}}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}\ldots (e_{\tilde {j_{q}}})^{l_{q}}\,T_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}}$ (здесь ${\displaystyle T_{{\tilde {j_{1}}},\ldots ,{\tilde {j_{q}}}}^{{\tilde {i_{1}}},\ldots ,{\tilde {i_{p}}}}\!={\stackrel {\tilde {e}}{T}}\!\,_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$ и ${\displaystyle T_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}\!={\stackrel {e}{T}}\!\,_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}}$).

3.4.3  Операции над тензорами

• Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы ${\displaystyle \mathrm {S} _{k}}$ в пространстве ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}V}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {lat} _{u}\colon {\mathcal {T}}^{k}V&\to {\mathcal {T}}^{k}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes \ldots \otimes v_{u^{-1}(k)}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Тензорное произведение тензоров в координатах: ${\displaystyle {\bigl (}T\otimes T'{\bigr )}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_{1},\ldots ,j_{q}\;\;\;\;\;\;\;j_{1}',\ldots ,j_{q'}'}^{i_{1},\ldots ,i_{p}\;\;\;\;\;\;\;i_{1}',\ldots ,i_{p'}'}\!\!=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}\!\cdot {T'}_{j_{1}',\ldots ,j_{q'}'}^{i_{1}',\ldots ,i_{p'}'}}$. Кронекеровское произведение матриц.
• Свертка по паре ${\displaystyle (b,d)}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {con} _{d}^{b}\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q-1}^{p-1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto \lambda _{d}(v_{b})\,v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Свертка по паре ${\displaystyle (b,d)}$ в координатах: ${\displaystyle {\bigl (}\mathrm {con} _{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{h=1}^{n}T_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots ,i_{p}}}$. Теорема о свертках тензоров малой валентности.

  Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle v\in V}$, ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \lambda (v)=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes \lambda )}$, ${\displaystyle \mathrm {tr} \,a=\mathrm {con} _{1}^{1}(a)}$, ${\displaystyle a(v)=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes a)}$ и ${\displaystyle \lambda \circ a=\mathrm {con} _{2}^{1}(a\otimes \lambda )}$;
  (2) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ и ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Bi} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \sigma (v,w)=\mathrm {con} _{1}^{1}(\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes w\otimes \sigma ))}$ и ${\displaystyle {\downarrow }_{\sigma }v=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes \sigma )}$.

• Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Bi} (V)}$; тогда
  (1) прообраз гомоморфизма ${\displaystyle \downarrow _{\sigma }}$ относительно изоморфизма ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,V^{*})\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,\mu {\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ равен тензору ${\displaystyle \sigma }$;
  (2) если форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена, то, обозначая через ${\displaystyle ^{-1}\sigma }$ прообраз гомоморфизма ${\displaystyle \uparrow ^{\sigma }}$ относительно изоморфизма ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V\otimes V&\to \mathrm {Hom} (V^{*},V)\\v\otimes w&\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v)\,w{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$
  (тензор ${\displaystyle ^{-1}\sigma }$ — тензор типа ${\displaystyle (2,0)}$, обратный к тензору ${\displaystyle \sigma }$), для любых ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$ имеем следующий факт: ${\displaystyle {\uparrow }^{\sigma }\lambda =\mathrm {con} _{1}^{1}(^{-1}\sigma \otimes \lambda )}$.
• Опускание индекса: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}(\downarrow _{\sigma })_{d}^{b}\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q+1}^{p-1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes ({\downarrow }_{\sigma }v_{b})\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Подъем индекса: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}(\uparrow ^{\sigma })_{d}^{b}\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q-1}^{p+1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes ({\uparrow }^{\sigma }\lambda _{d})\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Опускание и подъем в координатах: ${\displaystyle {\bigl (}(\downarrow _{\sigma })_{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j,j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{i_{b}=1}^{n}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}\,\sigma _{i_{b},j}}$ и ${\displaystyle {\bigl (}(\uparrow ^{\sigma })_{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i,i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{j_{d}=1}^{n}(^{-1}\sigma )^{j_{d},i}\,T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$.

3.5  Симметрические и внешние степени векторных пространств

3.5.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами

• Симметрическая и внешняя степени: ${\displaystyle {\mathsf {S}}^{k}V=\{T\in {\mathcal {T}}^{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {lat} _{u}(T)=T{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\mathsf {\Lambda }}^{k}V=\{T\in {\mathcal {T}}^{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {lat} _{u}(T)=\mathrm {sgn} (u)\,T{\bigr )}\}}$.
• Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное
  пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; обозначим через ${\displaystyle \iota }$ изоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathcal {T}}^{k}V^{*}\!&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{k}&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \lambda _{1}(v_{1})\ldots \lambda _{k}(v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {laf} _{u}}$ автоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Multi} _{k}V&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\omega &\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем следующие факты:
  ${\displaystyle \iota \circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {laf} _{u}\circ \iota }$, ${\displaystyle \mathrm {SMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {laf} _{u}(\omega )=\omega {\bigr )}\}}$, ${\displaystyle \mathrm {AMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {laf} _{u}(\omega )=\mathrm {sgn} (u)\,\omega {\bigr )}\}}$;
  (2) ${\displaystyle \iota ({\mathsf {S}}^{k}V^{*})=\mathrm {SMulti} _{k}V}$ и ${\displaystyle \iota ({\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*})=\mathrm {AMulti} _{k}V}$ (и, значит, ${\displaystyle {\mathsf {S}}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {SMulti} _{k}V}$ и ${\displaystyle \,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {AMulti} _{k}V}$).
• Симметризация и альтернирование: ${\displaystyle \mathrm {sym} _{k}={\frac {1}{k!}}\!\sum _{u\in \mathrm {S} _{k}}\mathrm {lat} _{u}}$ и ${\displaystyle \mathrm {alt} _{k}={\frac {1}{k!}}\!\sum _{u\in \mathrm {S} _{k}}\mathrm {sgn} (u)\,\mathrm {lat} _{u}}$.

Алгебраические структуры

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

2  Линейная алгебра

2.1  Матрицы, базисы, координаты

2.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Пространство столбцов: ${\displaystyle K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)}$. Пространство строк: ${\displaystyle {}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)}$.
• Матричные единицы: ${\displaystyle (\mathrm {se} _{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Умножение матриц: ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$.
• Строки матрицы: ${\displaystyle a^{i}=\mathrm {se} ^{i}\cdot a}$. Столбцы матрицы: ${\displaystyle a_{j}=a\cdot \mathrm {se} _{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a^{j}}$ и ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}=\sum _{j=1}^{p}a_{k}^{j}\,b_{j}}$.
• След матрицы: ${\displaystyle \mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)}$.
• Транспонирование матрицы: ${\displaystyle (a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (r,p,K)}$; тогда ${\displaystyle (b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}}$.

2.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Матрица гомоморфизма: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}}$. Утверждение: ${\displaystyle a(e)=h\cdot a_{e}^{h}}$ и ${\displaystyle \forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}}$.
• Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Изоморфизм колец и векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись (если ${\displaystyle a}$ — эндоморфизм): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

2.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathrm {se} _{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{j}^{j})}$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle p,n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0}}$ и элементарные матрицы ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$ размера ${\displaystyle p\times p}$ над полем ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a}$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно ${\displaystyle \dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ (и, значит, не зависит от матриц ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: ${\displaystyle V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U=\dim V<\infty }$; тогда ${\displaystyle U=V}$.
• Ядро линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V}$. Образ линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$; тогда ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда выполнено ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V=\dim Y<\infty }$;
  тогда выполнено ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$.

2.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a}$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)\leq \min\{\dim V,\dim Y\}}$. Утверждение: ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y}$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) для любых матриц ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)}$;
  (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'=\mathrm {se} _{1}^{1}+\mathrm {se} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {se} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ и ${\displaystyle \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})}$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).