Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями

Версия 11:30, 17 сентября 2016

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

2  Линейная алгебра

2.1  Матрицы, базисы, координаты

2.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Пространство столбцов: ${\displaystyle K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)}$. Пространство строк: ${\displaystyle {}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)}$.
• Матричные единицы: ${\displaystyle (\mathrm {se} _{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Умножение матриц: ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$.
• Строки матрицы: ${\displaystyle a^{i}=\mathrm {se} ^{i}\cdot a}$. Столбцы матрицы: ${\displaystyle a_{j}=a\cdot \mathrm {se} _{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a^{j}}$ и ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}=\sum _{j=1}^{p}a_{k}^{j}\,b_{j}}$.
• След матрицы: ${\displaystyle \mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)}$.
• Транспонирование матрицы: ${\displaystyle (a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (r,p,K)}$; тогда ${\displaystyle (b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}}$.

2.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Матрица гомоморфизма: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}}$. Утверждение: ${\displaystyle a(e)=h\cdot a_{e}^{h}}$ и ${\displaystyle \forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}}$.
• Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Изоморфизм колец и векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись (если ${\displaystyle a}$ — эндоморфизм): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

2.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathrm {se} _{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{j}^{j})}$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle p,n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0}}$ и элементарные матрицы ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$ размера ${\displaystyle p\times p}$ над полем ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a}$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно ${\displaystyle \dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ (и, значит, не зависит от матриц ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: ${\displaystyle V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U=\dim V<\infty }$; тогда ${\displaystyle U=V}$.
• Ядро линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V}$. Образ линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$; тогда ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда выполнено ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V=\dim Y<\infty }$;
  тогда выполнено ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$.

2.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a}$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)\leq \min\{\dim V,\dim Y\}}$. Утверждение: ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y}$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) для любых матриц ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)}$;
  (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'=\mathrm {se} _{1}^{1}+\mathrm {se} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {se} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ и ${\displaystyle \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})}$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

2.2.3  Системы линейных уравнений

• Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\cdot v_{0}=y}$; тогда ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle y\in K^{p}}$; тогда ${\displaystyle \exists \,v\in K^{n}\;{\bigl (}a\cdot v=y{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))}$.
• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.

2.3  Конструкции над векторными пространствами

2.3.1  Факторпространства и прямая сумма векторных пространств

• Факторпространство: ${\displaystyle V/U}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle A}$ — базис в ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B}$ — базис в ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle A\subseteq B}$; тогда ${\displaystyle \{b+U\mid b\in B\setminus A\}}$ — базис в ${\displaystyle V/U}$.
• Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.
• Прямая сумма векторных пространств: ${\displaystyle U\oplus W}$. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

  Теорема о прямой сумме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$;
  обозначим через ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)}$, ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V}$;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V}$;
  (4) если ${\displaystyle \dim U,\dim W<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W}$ (это формула Грассмана).

• Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: ${\displaystyle a(U)\leq U}$. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
• Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.

2.3.2  Двойственное пространство

• Двойственное пространство: ${\displaystyle V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)}$. Двойственный базис: ${\displaystyle e^{j}(v)=(v^{e})^{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\!\sum _{j=1}^{\dim V}\!\lambda (e_{j})e^{j}}$. Столбец ${\displaystyle e^{*}}$.
• Строка координат ковектора. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}}$, ${\displaystyle \lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$ и ${\displaystyle \lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}}$.
• Отождествление пространств ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{**}}$ в случае конечномерного пространства ${\displaystyle V}$ при помощи изоморфизма ${\displaystyle \,v\mapsto \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K\\\lambda &\mapsto \lambda (v)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Сводная таблица о координатах. (В таблице ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)}$.)

2.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1  Отступление о симметрических группах

• Симметрическая группа: ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})}$. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
• Утверждение: ${\displaystyle (i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})}$. Утверждение: ${\displaystyle u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))}$.
• Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle s,{\breve {s}}\in \mathrm {S} _{n}}$; тогда перестановки ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle {\breve {s}}}$ сопряжены, если и только
  если (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle {\breve {s}}}$ равны.
• Транспозиции ${\displaystyle \{(i\;\,j)\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i<j\}}$ и фундаментальные транспозиции ${\displaystyle \{(i\;\,i+1)\mid i\in \{1,\ldots ,n-1\}\}}$. Число циклов ${\displaystyle \kappa (u)}$.
• Лемма об умножении на транспозицию. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}}$, ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$, ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ и ${\displaystyle i<j}$; тогда
  (1) если числа ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежат одному циклу в перестановке ${\displaystyle u}$, то ${\displaystyle \kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)+1}$;
  (2) если числа ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежат разным циклам в перестановке ${\displaystyle u}$, то ${\displaystyle \kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)-1}$.
• Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$; обозначим через ${\displaystyle l}$ число ${\displaystyle n-\kappa (u)}$; тогда
  (1) существуют такие транспозиции ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}}$, что ${\displaystyle u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$ из существования таких транспозиций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{t}\in \mathrm {S} _{n}}$, что ${\displaystyle u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{t}}$, следует, что ${\displaystyle t\geq l}$ и ${\displaystyle t\equiv l\;(\mathrm {mod} \;2)}$.
• Знак перестановки: ${\displaystyle \mathrm {sgn} (u)=(-1)^{n-\kappa (u)}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {sgn} }$ — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: ${\displaystyle \mathrm {A} _{n}=\{u\in \mathrm {S} _{n}\!\mid \mathrm {sgn} (u)=1\}\trianglelefteq \mathrm {S} _{n}}$.

2.4.2  Полилинейные отображения и формы объема

• Пространства полилинейных отображений ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)}$, ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}(V,Y)}$ и полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},K)}$, ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}V}$.
• Пространства билинейных отображений ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},Y)}$, ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V,Y)}$ и билинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},K)}$, ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры полилинейных форм.
• Пространство симметричных полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {SMulti} _{k}V}$. Пространство антисимметричных полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {AMulti} _{k}V}$.
• Лемма об антисимметричных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {Multi} _{k}V}$; тогда
  следующие условия эквивалентны (если ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=2}$, то исключаются импликации (2)${\displaystyle \;\Rightarrow \,}$(1) и (3)${\displaystyle \;\Rightarrow \,}$(1)):
  (1) ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V}$;
  (2) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ и таких ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$, что ${\displaystyle u}$ — транспозиция, выполнено ${\displaystyle \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=-\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})}$;
  (3) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$ выполнено ${\displaystyle \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=\mathrm {sgn} (u)\,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})}$.
• Пространство форм объема ${\displaystyle \mathrm {AMulti} _{n}V}$ (${\displaystyle n=\dim V}$). Форма объема, связанная с базисом: ${\displaystyle \mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,(v_{1}^{e})^{u(1)}\!\ldots (v_{n}^{e})^{u(n)}}$.
• Теорема о формах объема. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V}$ выполнено ${\displaystyle \omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ множество ${\displaystyle \{\mathrm {vol} ^{e}\}}$ — базис пространства ${\displaystyle \,\mathrm {AMulti} _{n}V}$;
  (3) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}}$ выполнено ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0}$.

2.4.3  Определитель линейного оператора

• Определитель линейного оператора: ${\displaystyle \omega (a(v_{1}),\ldots ,a(v_{n}))=\det a\cdot \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})}$, где ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}}$. Корректность определения.
• Теорема о главных свойствах определителя. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \det a\neq 0\}}$ (напоминание: ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }}$);
  (2) для любых ${\displaystyle a,b\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \det(a\circ b)=\det a\cdot \det b}$
  (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {GL} (V)&\to K^{\times }\\a&\mapsto \det a\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ определено корректно и является гомоморфизмом групп).
• Определитель матрицы: ${\displaystyle \det a=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,a_{1}^{u(1)}\!\ldots a_{n}^{u(n)}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\det \!{\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{n}^{e}{\bigr )}}$.
• Лемма об определителе оператора и определителе матрицы. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; тогда ${\displaystyle \det a=\mathrm {vol} ^{e}(a(e_{1}),\ldots ,a(e_{n}))=\det a_{e}^{e}}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \det a=\det a^{\mathtt {T}}}$ и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
• Специальные линейные группы: ${\displaystyle \mathrm {SL} (V)=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (V)}$ и ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,K)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (n,K)}$.

2.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

• Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: ${\displaystyle \mathrm {adj} (a)_{j}^{i}=(-1)^{i+j}}$${\displaystyle {\bigl (}}$дополнительный минор матрицы ${\displaystyle a}$ в позиции ${\displaystyle (j,i)}$${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Теорема о присоединенной матрице. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,K)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \forall \,i,k\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{k}^{j}=\det a\cdot \delta _{k}^{i}{\Bigr )}}$ и ${\displaystyle \forall \,j,l\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{l}\,a_{j}^{i}=\det a\cdot \delta _{j}^{l}{\Bigr )}}$ (в частности,
  при ${\displaystyle i=k}$ имеем ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}=\det a{\Bigr )}}$ и при ${\displaystyle j=l}$ имеем ${\displaystyle \forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}\,a_{j}^{i}=\det a{\Bigr )}}$;
  это формулы разложения определителя матрицы ${\displaystyle a}$ по ${\displaystyle i}$-й строке матрицы ${\displaystyle a}$ и по ${\displaystyle j}$-му столбцу матрицы ${\displaystyle a}$ соответственно);
  (2) ${\displaystyle a\cdot \mathrm {adj} (a)=\mathrm {adj} (a)\cdot a=\det a\cdot \mathrm {id_{n}} }$ и, если ${\displaystyle a\in \mathrm {GL} (n,K)}$, то ${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{\det a}}\,\mathrm {adj} (a)}$.
• Правило Крамера. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {GL} (n,K)}$, ${\displaystyle y\in K^{n}}$ и ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n\}}$; тогда ${\displaystyle (a^{-1}\!\cdot y)^{j}={\frac {\det \!{\bigl (}a_{1}\;\ldots \;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots \;a_{n}{\bigr )}}{\det a}}}$.
• Теорема о базисном миноре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)}$ равен максимальному среди всех таких чисел
  ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$, что в матрице ${\displaystyle a}$ существует такая подматрица ${\displaystyle a'}$ размера ${\displaystyle t\times t}$, что ${\displaystyle \det a'\neq 0}$.