|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | __NOTOC__
| + | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. |
| − | <h2>3 Билинейная и полилинейная алгебра</h2> | + | |
| | | | |
| − | <h3>3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h3> | + | <b>Преподаватель практики у подгруппы №1:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. |
| − | <h5>3.1.1 ¯-Билинейные формы</h5>
| + | |
| − | <ul><li>Пространство билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры билинейных форм: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^ns_{j_1,j_2}v^{j_1}w^{j_2}</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_X\!sfg</math>.
| + | |
| − | <li>Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>. Пространство ¯-билинейных форм: <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
| + | |
| − | <li>Матрица Грама формы <math>\sigma</math>: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\!=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. ¯-Билинейная форма в координатах: <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math>.
| + | |
| − | <li>Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}\!=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
| + | |
| − | <li>Пр.-ва (над полем <math>\{c\in K\mid c=\overline c\}</math>) <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
| + | |
| − | <li>Пр.-ва (над полем <math>\{c\in K\mid c=\overline c\}</math>) <math>\overline\mathrm{ABi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=-\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm A\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=-\overline s\}</math>.
| + | |
| − | <li>Мн.-во гомоморфизмов между пространствами с формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
| + | |
| − | <li>Группа автоморфизмов пространства с формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(V,\sigma))\cap\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{Aut}(n,K,s)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid a^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline a=s\}</math>.</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>3.1.2 ¯-Квадратичные формы</h5> | + | <b>Список подгруппы №1 на практике:</b> Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,<br>Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,<br>Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина. |
| − | <ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\overline c\,\kappa(v)</math>.
| + | |
| − | <li>¯-Квадратичная форма в координатах: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math> — однородный ¯-многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
| + | |
| − | <li>Гиперповерхность второго порядка в пространстве <math>V</math>: мн.-во вида <math>\{v\in V\mid\kappa(v)+2\,\lambda(v)+c=0\}</math>, где <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\lambda\in V^*</math>, <math>c\in K</math>.
| + | |
| − | <li><u>Теорема о поляризации квадратичных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v-w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт:<br><math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма в пространстве <math>V</math> (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>);<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
| + | |
| − | <li><u>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <b>C</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>,<br>имеем следующий факт: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма в пространстве <math>V</math> (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>);<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\overline\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
| + | |
| − | <li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}</math></i>.</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>3.1.3 Невырожденные ¯-билинейные формы</h5> | + | <b>Преподаватель практики у подгруппы №2:</b> Софья Сергеевна Афанасьева. |
| − | <ul><li>Опускание индексов: <math>\biggl(\!\begin{align}\downarrow_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индексов в координатах: <math>({\downarrow}_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>({\downarrow}_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,j}\,v^i</math>.
| + | |
| − | <li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\downarrow_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
| + | |
| − | <li>Тонкости случая <math>\dim V=\infty</math>. Пример: пусть <math>V=\mathrm C^0\!([-1;1],\mathbb R)</math> и <math>\sigma\colon(f,g)\mapsto\!\int_{-1}^1\!fg</math>; тогда <math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>, но <math>\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma\!<V^*\!\cap\mathrm C^0\!(V,\mathbb R)</math>.
| + | |
| − | <li>Подъем индексов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\uparrow^\sigma={\downarrow}_\sigma^{-1}</math>. Подъем индексов в координатах (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e})^{-1}</math>): <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{j,i}\,\lambda_j</math>.
| + | |
| − | <li><u>Лемма о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>e\in V^m</math>; обозначим<br>через <math>U</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_m\rangle</math>; тогда <math>\det\sigma_{e,e}\!\ne0</math>, если и только если <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i>
| + | |
| − | <li>Ортогональность (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>.
| + | |
| − | <li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\le U^{\perp\perp}</math>, <math>U\le W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\le U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\le(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Ker}({\downarrow}_{\sigma|_{U\times U}})=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math><math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(3) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>);<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>U^\perp\!\cap U^{\perp\perp}\!=\{0\}</math>, то <math>U=U^{\perp\perp}</math>.</i></ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5> | + | <b>Список подгруппы №2 на практике:</b> Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,<br>Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,<br>Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин. |
| − | <ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,j_1,j_2\in\{1,\ldots,\dim V\}\;\bigl(j_1\ne j_2\,\Rightarrow\,\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})=0\bigr)</math>.
| + | |
| − | <li>Ортонормированный базис (если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
| + | |
| − | <li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда<br>существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i>
| + | |
| − | <li><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i>
| + | |
| − | <li><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали.</i>
| + | |
| − | <li>Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>v\in V</math>; тогда <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}e_j</math></i>.
| + | |
| − | <li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и<br>обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно<br>тому, что <math>m_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\,\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{m_i}{m_{i-1}}</math>;<br>(2) <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i></ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h3>3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h3>
| + | [[Медиа:Problems_11.11.pdf|<b>Файл с домашним заданием на 11-е ноября.</b>]] |
| − | <h5>3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы</h5>
| + | |
| − | <ul><li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math>.
| + | |
| − | <li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)<0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v<0\bigr)\}</math>.
| + | |
| − | <li>Утверждение: <i>пусть <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)\cup\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена</i>.
| + | |
| − | <li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i>
| + | |
| − | <li>Евклидово<math>/</math>унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb R</math><math>/</math>над <math>\mathbb C</math> с положительно определенной формой.
| + | |
| − | <li>Ортогональные многочлены. Тригонометрические многочлены и многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>3.2.2 Сигнатура формы</h5>
| + | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1FFLPZXZwBFdEmG7NFQC856NN9ZCfcAthoX53pVq-Du8/htmlembed?widget=false<b>Таблица успеваемости студентов.</b>] |
| − | <ul><li>Полож. и отриц. ранги: <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(U)\}</math>.
| + | |
| − | <li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и<br><math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)+\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i>
| + | |
| − | <li>Сигнатура формы: пара <math>(\mathrm{rk}_{>0}(\sigma),\mathrm{rk}_{<0}(\sigma))</math>. Пространство Минковского — четырехмерное пространство над <math>\mathbb R</math> с формой сигнатуры <math>(1,3)</math>.
| + | |
| − | <li>(Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb R</math> с невырожденной симметричной билинейной формой.
| + | |
| − | <li>(Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb C</math> с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
| + | |
| − | <li>Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>3.2.3 Евклидовы и унитарные пространства</h5> | + | <b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS). |
| − | <ul><li>Обозначение формы: <math>(,)</math>. Примеры: <math>(v,w)=\sum_{i=1}^nv^i\overline{w^i}</math>, <math>(f,g)=\!\int_X\!f\overline g</math>. Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v,v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>.
| + | |
| − | <li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v,w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v,e_i)e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v,e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i>
| + | |
| − | <li>Гильбертово пространство над <math>\mathbb R</math><math>/</math>над <math>\mathbb C</math> — (не обязательно конечномерное) «евклидово»<math>/</math>«унитарное» пространство, полное относительно нормы.
| + | |
| − | <li><u>Теорема об ортогональном проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v,e_j)e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v,e_j)|^2</math> (это неравенство Бесселя);<br>(2) для любых <math>v\in V</math> и <math>u\in U\!\setminus\!\{\mathrm{proj}_U(v)\}</math> выполнено <math>\|v-\mathrm{proj}_U(v)\|<\|v-u\|</math> (и, значит, <math>\|v-\mathrm{proj}_U(v)\|=\min\{\|v-u\|\mid u\in U\}</math>).</i>
| + | |
| − | <li>Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если <math>K=\mathbb R</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v,w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>.
| + | |
| − | <li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство<br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math>. Для любых<br><math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\check e_i</math> вектор <math>\frac{e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)}{\|e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)\|}</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\check e_1,\dots,\check e_i)\in\mathrm{OnOB}(V_i)</math>;<br>(2) <math>\check e_i=\frac{e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j}{\|e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j\|}</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\check e_1,\ldots,\check e_n</math>).</i></ul>
| + | |
| − | | + | |
| − | <h3>3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3>
| + | |
| − | <h5>3.3.1 Сопряжение операторов</h5>
| + | |
| − | <ul><li>Сопряженный оператор (форма <math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)={\uparrow}^\sigma\bigl(({\downarrow}_\sigma v)\circ a\bigr)</math>. Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>.
| + | |
| − | <li><u>Лемма о сопряжении операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>v\in V</math> вектор <math>a^*(v)</math> однозначно определяется условием <math>\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(v,a(w))=\sigma(a^*(v),w)\bigr)</math>;<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(4) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a=\mathrm{id}_V\}</math>.</i>
| + | |
| − | <li>Ортогональная группа (<math>V</math> — (псевдо)евклидово пр.): <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. Унитарная группа (<math>V</math> — (псевдо)унитарное пр.): <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>.
| + | |
| − | <li>Классические группы над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathrm O(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb R,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm O(n)=\mathrm O(n,0)</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm O(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SO}(n,0)</math>.
| + | |
| − | <li>Классические группы над <math>\mathbb C</math>: <math>\mathrm U(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb C,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm U(n)=\mathrm U(n,0)</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm U(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SU}(n,0)</math>.
| + | |
| − | <li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}\cong\mathrm S^1</math>, <math>\mathrm O(2)=\bigl\{\mathrm{id}_2,\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr\}\!\cdot\mathrm{SO}(2)</math>, <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}\cong\mathrm S^3</math>.</ul>
| + | |
| − | | + | |
| − | <h5>3.3.2 Два пространства и два множества операторов</h5>
| + | |
| − | <ul><li>Форма, связанная с оператором: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math> (<math>\Leftrightarrow\,{\downarrow}_{\sigma_a}\!={\downarrow}_\sigma\!\circ a</math>). Форма, связанная с оператором, в координатах: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>.
| + | |
| − | <li><u>Лемма об операторах и формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\\tau&\mapsto{\uparrow}^\sigma\!\circ{\downarrow}_\tau\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
| + | |
| − | <li><u>Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство<br>над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\sigma_a(w,v)=\overline{\sigma_{a^*}(v,w)}</math>;<br>(2) <math>\sigma_a\!\in\overline\mathrm{SBi}(V)\,\Leftrightarrow\,a=a^*</math> и <math>\sigma_a\!\in\overline\mathrm{ABi}(V)\,\Leftrightarrow\,a=-a^*</math>, а также <math>a^{**}\!=a</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\le(\mathrm{Ker}\,a)^\perp</math>;<br>(4) для любых <math>U\le V</math> выполнено <math>a(U)\le U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\le U^\perp</math> и <math>\,a^*(U)\le U\,\Rightarrow\,a(U^\perp)\le U^\perp</math>.</i>
| + | |
| − | <li>Пр.-во самосопряженных оп.-ров: <math>\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{SBi}(V)\}</math>; <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Rightarrow\,</math><math>\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a=a^*\}</math>.
| + | |
| − | <li>Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: <math>\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{ABi}(V)\}</math>; <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Rightarrow\,</math><math>\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a=-a^*\}</math>.
| + | |
| − | <li>Множество положительно определенных операторов (если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)\}</math>.
| + | |
| − | <li>Множество нормальных операторов: <math>\mathcal N\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}\supseteq\mathrm{Aut}(V,\sigma)\cup\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)\cup\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)</math>.
| + | |
| − | <li>Пример: положительно определенный оператор <math>f\mapsto-f''</math> в пространстве <math>\{f\in\mathrm C^\infty\!([0;l],\mathbb C)\mid f(0)=f(l)=0\}</math> с формой <math>(f,g)\mapsto\!\int_0^l\!f\overline g</math>.</ul>
| + | |
| − | | + | |
| − | <h5>3.3.3 Спектральная теория (часть 1)</h5>
| + | |
| − | <ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>;<br>(2) для любых таких <math>c,d\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne d</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.</i>
| + | |
| − | <li><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i>
| + | |
| − | <li><u>Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br><math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i>
| + | |
| − | <li><u>Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm U(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с числами вида <math>\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>;<br>(2) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>;<br>(3) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>;<br>(4) <math>a\in\mathcal A\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с числами вида <math>\,\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>.</i>
| + | |
| − | <li><u>Лемма об операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\le U</math> и, если <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, то <math>a^*(U)\le U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i>
| + | |
| − | <li>Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).</ul>
| + | |
| − | | + | |
| − | <h5>3.3.4 Спектральная теория (часть 2)</h5>
| + | |
| − | <ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>.
| + | |
| − | <li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math></i>.
| + | |
| − | <li><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i>
| + | |
| − | <li><u>Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br><math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i>
| + | |
| − | <li><u>Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом<br>пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диаг. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>;<br>(2) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>;<br>(3) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>;<br>(4) <math>a\in\mathcal A\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>.</i>
| + | |
| − | <li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>, если и только если<br>существуют такие <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\!\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math>.</i></ul>
| + | |
