|
|
Строка 14: |
Строка 14: |
| | | |
| <b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS). | | <b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS). |
− |
| |
− | __NOTOC__
| |
− | <h5>1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк</h5>
| |
− | <ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.
| |
− | <li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{e_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
| |
− | <li>Стандартный базис пространства <math>K^p</math>: <math>\{e_i\mid i\in\{1,\ldots,p\}\}</math>. Стандартный базис пространства <math>{}^n\!K</math>: <math>\{e^j\mid j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
| |
− | <li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>.
| |
− | <li>Выделение строк матрицы: <math>a^i=e^i\cdot a</math>. Выделение столбцов матрицы: <math>a_j=a\cdot e_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i=b^i\cdot a</math> и <math>(b\cdot a)_k=b\cdot a_k</math></i>.
| |
− | <li>След матрицы: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math></i>.
| |
− | <li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>(b\cdot a)^\mathtt T=a^\mathtt T\cdot b^\mathtt T</math></i>.</ul>
| |
− |
| |
− | <h5>1.2.2 Ранг линейного оператора</h5>
| |
− | <ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>.
| |
− | <li>Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>. Утверждение: <i><math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math> и <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>.
| |
− | <li><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g\cdot a\cdot g')=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=e_1^1+e_2^2+\ldots+e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i></ul>
| |
− |
| |
− | <h5>1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема</h5>
| |
− | <ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k;Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}^k(V;Y)</math> и полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k)</math> и <math>\mathrm{Multi}^kV</math>.
| |
− | <li>Пространство симметричных полилинейных форм <math>\mathrm{SMulti}^kV</math>. Пространство антисимметричных полилинейных форм <math>\mathrm{AMulti}^kV</math>.
| |
− | <li><u>Лемма об антисимметричных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\mathrm{Multi}^kV</math>; тогда<br>следующие условия эквивалентны (если <math>\mathrm{char}\,K=2</math>, то исключаются импликации (2)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1) и (3)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1)):<br>(1) <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^kV</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и таких <math>u\in\mathrm S_k</math>, что <math>u</math> — транспозиция, выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=-\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=\mathrm{sgn}(u)\,\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>.</i>
| |
− | <li>Пространство форм объема <math>\mathrm{AMulti}^nV</math> (<math>n=\dim V</math>). Форма объема, связанная с базисом: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,(v_1^e)^{u(1)}\!\ldots(v_n^e)^{u(n)}</math>.
| |
− | <li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{AMulti}^nV</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV\setminus\{0\}</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul>
| |
− |
| |
− | <h5>1.4.3 Определитель линейного оператора</h5>
| |
− | <ul><li>Определитель линейного оператора: <math>\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))=\det a\cdot\omega(v_1,\ldots,v_n)</math>, где <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV\setminus\{0\}</math>. Корректность определения.
| |
− | <li><u>Теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math> (напоминание: <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\det(a\circ b)=\det a\cdot\det b</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{GL}(V)&\to K^\times\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является гомоморфизмом групп).</i>
| |
− | <li>Определитель матрицы: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\ldots a^{u(n)}_n</math>. Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)</math></i>.
| |
− | <li><u>Лемма об определителе оператора и определителе матрицы.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда, обозначая через <math>n</math> число <math>\dim V</math>, имеем <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>.</i>
| |
− | <li>Утверждение: <i><math>\det a=\det a^\mathtt T</math> и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков</i>.
| |
− | <li>Специальные линейные группы: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>.</ul>
| |
− |
| |
− | <h3>1.5 Линейные операторы (часть 2)</h3>
| |
− | <h5>1.5.1 Многочлены от операторов</h5>
| |
− | <ul><li>Многочлен от оператора: <math>f(a)=\sum_{k=0}^{\deg f}f_ka^k</math>. Эвалюация <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{eval}_a\colon K[x]&\to\mathrm{End}(V)\\f&\mapsto f(a)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм колец и векторных пространств.
| |
− | <li>Кольцо, порожденное оператором: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a</math> — коммутативное подкольцо и подпространство в <math>\mathrm{End}(V)</math>.
| |
− | <li>Минимальный многочлен оператора: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\mu_a</math> приведен, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\setminus\{0\}\;\land\;f(a)=0\}</math>; <math>(\mu_a)=\mathrm{Ker}\,\mathrm{eval}_a\trianglelefteq K[x]</math>.
| |
− | <li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\le\mathrm{Ker}\,f(a)</math> и, если <math>g\in K[x]</math> и <math>f</math> делит <math>g</math>, то <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\le\mathrm{Ker}\,g(a)</math></i>.
| |
− | <li><u>Теорема о разложении в прямую сумму ядер.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>f,g\in K[x]</math> и <math>\gcd(f,g)=1</math>; тогда <math>\,\mathrm{Ker}\,(fg)(a)=\mathrm{Ker}\,f(a)\oplus\mathrm{Ker}\,g(a)</math>.</i>
| |
− | <li>Проектор (идемпотент): <math>a^2=a\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(\mathrm{id}_V-a)\oplus\mathrm{Ker}\,a</math>. Нильпотентный оператор: <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(\mu_a=x^m\bigr)</math>.</ul>
| |
− |
| |
− | <h5>1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора</h5>
| |
− | <ul><li>Спектр оператора: <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid(a-c\cdot\mathrm{id}_V)\notin\mathrm{GL}(V)\}</math>; если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)\ne\{0\}\}</math>.
| |
− | <li>Характеристический многочлен матрицы: <math>\chi_a=\det(x\cdot\mathrm{id}_n-a)</math>. Характеристический многочлен оператора: <math>\chi_a=\chi_{a_e^e}</math>. Корректность определения.
| |
− | <li>Утверждение: <math>\chi_a=x^n-\mathrm{tr}\,a\cdot x^{n-1}+\ldots+(-1)^n\det a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\chi_a(c)=0\}</math> (и, значит, <math>|\mathrm{Spec}(a)|\le\dim V</math>)</i>.
| |
− | <li><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i>
| |
− | <li>Две кратности: <math>\alpha(a,c)</math> — кратность <math>c</math> как корня многочлена <math>\chi_a</math> (алгебраическая кратность) и <math>\beta(a,c)</math> — кратность <math>c</math> как корня многочлена <math>\mu_a</math>.
| |
− | <li><u>Лемма о минимальном и характеристическом многочленах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) многочлен <math>\mu_a</math> делит многочлен <math>\chi_a</math> (и, значит, <math>\forall\,c\in K\;\bigl(\beta(a,c)\le\alpha(a,c)\bigr)</math>);<br>(2) <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mu_a(c)=0\}</math>;<br>(3) если <math>a</math> — нильпотентный оператор, то <math>\chi_a=x^{\dim V}</math>.</i></ul>
| |
− |
| |
− | <h5>1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора</h5>
| |
− | <ul><li>Обобщенные собственные подпространства: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j\le V</math>. Корневые подпространства: <math>V(a,c)=\bigcup_{j=0}^\infty V_j(a,c)\le V</math>.
| |
− | <li>Цепь <math>a</math>-инвариантных подпространств: <math>\{0\}<V_1(a,c)<\ldots<V_{p-1}(a,c)<V_p(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots</math>; вывод: <math>V(a,c)=V_p(a,c)</math>.
| |
− | <li>Обобщенные геометрические кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math> и <math>\gamma(a,c)=\gamma_1(a,c)</math>. Утверждение: <math>\gamma(a,c)\le\alpha(a,c)</math>.
| |
− | <li><u>Лемма об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>c\in K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le j\,\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(2) <math>\beta(a,c)=\min\{j\in\mathbb N_0\mid V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)\}</math> и <math>V(a,c)=V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>.</i>
| |
− | <li><u>Теорема о диагонализуемых операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>;<br>тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math>;<br>(3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму собственных подпространств оператора <math>a</math>).</i>
| |
− | <li><u>Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то<br>это условие выполнено для любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму корневых подпространств оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>, обозначая через <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> оператор <math>(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> —<br>нильпотентный оператор, <math>\mu_{\mathrm{nil}(a,c)}=x^{\beta(a,c)}</math> и <math>\chi_{\mathrm{nil}(a,c)}=x^{\alpha(a,c)}</math> (и, значит, <math>\alpha(a,c)=\dim V(a,c)</math>).</i></ul>
| |
− |
| |
− | <h3>1.6 Линейные операторы (часть 3)</h3>
| |
− | <h5>1.6.1 Относительные базисы</h5>
| |
− | <ul><li>Независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow\,f=0</math>. Порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>U+\langle D\rangle=V</math>.
| |
− | <li>Базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>: одновременно независимое и порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>. Три леммы без доказательств.
| |
− | <p><u>Лемма 1 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>E\subseteq V</math>; тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) <math>E</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(2) для любого базиса <math>A</math> в <math>U</math> выполнено <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>;<br>(3) существует такой базис <math>A</math> в <math>U</math>, что <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>.</i><br>
| |
− | <u>Лемма 2 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>тогда существует базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>, содержащий <math>C</math>.</i><br>
| |
− | <u>Лемма 3 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>T\le U\le V</math>, <math>E</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>, <math>F</math> — базис в <math>U</math><br>относительно <math>T</math>; тогда <math>E\cup F</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>T</math>.</i></p>
| |
− | <li><u>Теорема об относительно независимых подмножествах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>j\in\mathbb N\setminus\{1\}</math>; обозначим через <math>V_{j-2}</math>, <math>V_{j-1}</math> и <math>V_j</math> пространства <math>\,\mathrm{Ker}\,a^{j-2}</math>, <math>\mathrm{Ker}\,a^{j-1}</math> и <math>\,\mathrm{Ker}\,a^j</math> соответственно; пусть <math>C</math> — независимое<br>подмножество в <math>V_j</math> относительно <math>V_{j-1}</math>; тогда <math>a|_{C\to a(C)}</math> — биекция и <math>a(C)</math> — независимое подмножество в <math>V_{j-1}</math> относительно <math>V_{j-2}</math>.</i></ul>
| |
− |
| |
− | <h5>1.6.2 Жорданова нормальная форма оператора</h5>
| |
− | <ul><li>Жордановы клетки: <math>\mathrm J_n(0)=e_1^2+e_2^3+\ldots+e_{n-1}^n</math> и <math>\mathrm J_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathrm J_n(0)</math>. Прямая сумма матриц: <math>a\oplus b\oplus\ldots=\!\Biggl(\begin{smallmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&\ddots\end{smallmatrix}\Biggr)</math>.
| |
− | <li>Диаграммы Юнга. Жорданов блок: <math>\mathrm J_\Delta(c)=\mathrm J_{n_1}(c)\oplus\ldots\oplus\mathrm J_{n_r}(c)</math>, где числа <math>n_1,\ldots,n_r</math> суть длины строк диаграммы Юнга <math>\Delta</math>.
| |
− | <li>Диаграмма Юнга <math>\Delta(a,c)</math>: высоты столбцов диаграммы <math>\Delta(a,c)</math> суть обобщенные геометрические кратности <math>\gamma_1(a,c),\ldots,\gamma_{\beta(a,c)}(a,c)</math>.
| |
− | <li><u>Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>a</math> — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e=\mathrm J_{\Delta(a,0)}(0)</math>.</i>
| |
− | <li><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math><br>и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для<br>любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что<br><math>a_e^e=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\mathrm J_{\Delta(a,c)}(c)</math> (то есть матрица <math>a_e^e</math> раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).</i>
| |
− | <li>Экспонента оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Вычисление степеней и экспоненты оператора при помощи теоремы о жордановой нормальной форме.</ul>
| |
− |
| |
− | <h3>1.7 Алгебры</h3>
| |
− | <h5>1.7.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами</h5>
| |
− |
| |
− | <h5>1.7.2 Алгебры многочленов</h5>
| |
− |
| |
− | <h5>1.7.3 Алгебра (тело) кватернионов</h5>
| |
− |
| |
− | <h5>1.7.4 Алгебры Ли (основные определения и примеры)</h5>
| |