Алгебра, 1 семестр, 2014/15 — различия между версиями

Версия 23:34, 11 декабря 2014

Вопросы для подготовки к экзамену

Лекции

Страница Максима Всемирнова

Консультации: 9:30-10:00 по средам, стоит предупреждать заранее по почте.

Группа Всемирнова

Задачник

Задачи из книги Д.К.Фаддева и И.С.Соминского "Сборник задач по высшей алгебре" (поздние издания также называются "Задачи по высшей алгебре"). Нужны издания, начиная с 11-го (1977 год и позднее). Проверяли номера заданий по 11 (1977 год) и 13 (2001 год) изданиям.

Обратите внимание на структуру задачника: собственно задачи, раздел с указаниями и раздел с ответами. Звездочка после номера задачи означает, что к ней есть указание.

На 03.12.2014

• Кратные корни: 573, 574, 575 (это три последние задачи из прошлого задания, которые мы не успели разобрать).
• Схема Горнера: 551а, 553b, 554а.
• Наибольший общий делитель: 578е, 579d, 580b, 582a, 586a.
• Китайская теорема об остатках: 583a.
• Интерполяция: 631d, 632a, 639, 642.

Старое

ДЗ (от 25 ноября 2014)

ДЗ (8 октября 2014). Про отчётность: "если успеете сделать его до среды, будет замечательно. Но так как задание появилось позднее, то можно его сдавать частями или прислать мне на почту до четверга. Во втором случае я буду зачитывать те задания, которые не разберем на практике в среду".

С 8 сентября по 5 октября (четыре недели) практики велись у Антипова (см. ниже).

Группа Антипова

ДЗ на 3.11

12.11.2014

ДЗ на 12.11

12.11.2014

ДЗ на 05.11

05.11.2014

ДЗ на 22.10

22.10.2014

ДЗ на 08.10

1. Найдите наибольший возможный порядок в группе перестановок на 15 элементах.
2. 1. Выпишите всевозможные цикловые типы четных и нечетных перестановок в группе перестановок на 5 элементах
   2. Докажите, что перестановка четна если в разложении её на циклы количество четных циклов четно (а иначе нечетна).
3. Докажите, что любую четную перестановку можно записать как произведение циклов длины 3.

ДЗ на 24.09.

1. Пусть ${\displaystyle X}$ - множество всех делителей ${\displaystyle 2002^{2002}}$. Обозначим НОД чисел за ${\displaystyle (a,b)}$, а НОК за ${\displaystyle [a,b]}$. Введём отношение эквивалентности: ${\displaystyle a\sim b\iff \left({\frac {[a,b]}{(a,b)}},77\right)=1}$. Сколько элементов в фактормножестве ${\displaystyle X/\sim }$?
2. Найти минимальное отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$, содержащее данное отношение ${\displaystyle R}$ (т.е. ${\displaystyle \sim }$ есть транзитивное замыкание ${\displaystyle R}$) и количество элементов в фактормножестве ${\displaystyle X/\sim }$.
   1. ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{+}}$ (положительные числа); ${\displaystyle aRb\iff ab(b+1)>a^{2}+b^{3}}$
   2. ${\displaystyle X=\mathbb {Z} }$; ${\displaystyle aRb\iff (a-3b)\vdots 121}$ (${\displaystyle x\vdots b}$ обозначает "${\displaystyle x}$ делится на ${\displaystyle y}$ без остатка")
3. Найти количество отображений ${\displaystyle f:\{1,2,3,\dots ,n\}\to \{1,2,3,\dots ,n\}}$, обладающих указанными свойствами:
   1. ${\displaystyle f(f(x))=x}$ при любом x
   2. ${\displaystyle f(f(x))=1}$ при любом x.