Алгебра phys 2 осень — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 46: Строка 46:
 
<h5>14&nbsp;&nbsp; Тензорные произведения векторных пространств</h5>
 
<h5>14&nbsp;&nbsp; Тензорные произведения векторных пространств</h5>
 
<ul><li>14.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с тензорами<br>
 
<ul><li>14.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с тензорами<br>
Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об<br>универсальности тензорного произведения. Теорема о базисе тензорного произведения. Первая и вторая теоремы о канонических изоморфизмах.
+
Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.<br>Теорема об универсальности тензорного произведения. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное<br>произведение линейных операторов. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
 
<li>14.2&nbsp; Тензоры типа <math>(p,q)</math> и тензорная алгебра<br>
 
<li>14.2&nbsp; Тензоры типа <math>(p,q)</math> и тензорная алгебра<br>
<li>14.3&nbsp; Операции над тензорами типа <math>(p,q)</math></ul>
+
Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензоры типа <math>(0,0)</math>, <math>(1,0)</math>, <math>(0,1)</math>, <math>(1,1)</math>, <math>(0,2)</math>, <math>(1,2)</math> и <math>(2,1)</math>. Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров<br>типа <math>(p,q)</math>. Тензоры типа <math>(p,q)</math> в координатах. Преобразование координат тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
 +
<li>14.3&nbsp; Операции над тензорами типа <math>(p,q)</math><br>
 +
Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц. Тензорное произведение полилинейных<br>форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.<br>Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.</ul>
  
 
<h5>15&nbsp;&nbsp; Симметрические и внешние степени векторных пространств</h5>
 
<h5>15&nbsp;&nbsp; Симметрические и внешние степени векторных пространств</h5>
 
<ul><li>15.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами<br>
 
<ul><li>15.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами<br>
 +
Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Симметризация и<br>альтернирование и лемма о них. Симметрическое и внешнее произведения векторов. Лемма к теореме и теорема об универсальности симметрической<br>степени и внешней степени. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
 
<li>15.2&nbsp; Симметрическая алгебра и внешняя алгебра<br>
 
<li>15.2&nbsp; Симметрическая алгебра и внешняя алгебра<br>
<li>15.3&nbsp; Операции над внешними формами</ul>
+
Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения в координатах. Теорема о симметрическом произведении<br>и внешнем произведении тензоров. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
 +
<li>15.3&nbsp; Операции над внешними формами<br>
 +
Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении. Оператор<br>Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.</ul>
  
 
<h5>16&nbsp;&nbsp; Многообразия (часть 2)</h5>
 
<h5>16&nbsp;&nbsp; Многообразия (часть 2)</h5>
 
<ul><li>16.1&nbsp; Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля<br>
 
<ul><li>16.1&nbsp; Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля<br>
 +
Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля (<math>1</math>-формы). Векторные поля и <math>1</math>-формы, определяемые координатами.<br>Векторные поля и <math>1</math>-формы в координатах. Преобразования при замене координат. Расслоение тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензорные поля типа <math>(p,q)</math>.<br>Тензорные поля типа <math>(p,q)</math> в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные <math>k</math>-формы. Алгебра дифференциальных форм.
 
<li>16.2&nbsp; Дифференциальные операции на многообразиях<br>
 
<li>16.2&nbsp; Дифференциальные операции на многообразиях<br>
<li>16.3&nbsp; Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</ul><br>
+
Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе. Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и<br>точные формы. Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение.
 +
<li>16.3&nbsp; Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)<br>
 +
Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий. Бемоль и<br>диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан. Символы Кристоффеля.<br>Теорема о связности Леви-Чивиты. Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.</ul><br>
  
 
[[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]]
 
[[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]]

Версия 05:00, 28 ноября 2018

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/1.

Преподаватель практики у подгруппы 201/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/2.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  М.О. Катанаев. Геометрические методы в математической физике.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание третьего семестра курса алгебры

11   Линейные операторы (часть 2)
  • 11.1  Многочлены и ряды от линейных операторов
    Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
    линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
    оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
  • 11.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
    Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
    Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
    Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
  • 11.3  Жорданова нормальная форма линейного оператора
    Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных
    независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
    Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
12   Линейные операторы и ¯-билинейные формы
  • 12.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
    Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и
    матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы. Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий.
  • 12.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
    Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
    Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором.
  • 12.3  Спектральная теория в унитарных пространствах
    Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств. Следствие из спектральной теоремы для
    унитарных пространств. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении. Теорема о
    собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
  • 12.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах
    Препятствия к диагонализации над . -Диагональные матрицы. -Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем . Спектральная
    теорема для евклидовых пространств. Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Матричная формулировка спектральной
    теоремы для евклидовых пространств. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
  • 12.5  Специальная ортохронная группа Лоренца
    Теорема о сохранении скорости света. Группа . Теорема о матричной группе Лоренца. Группа . Бусты. Пространство Минковского.
    Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.
13   Многообразия (часть 1)
  • 13.1  Определения и конструкции, связанные с многообразиями
    Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые
    на многообразиях. Функции на многообразиях. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
  • 13.2  Касательные пространства и кокасательные пространства
    Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательных
    пространствах. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования
    при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.
14   Тензорные произведения векторных пространств
  • 14.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами
    Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.
    Теорема об универсальности тензорного произведения. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное
    произведение линейных операторов. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
  • 14.2  Тензоры типа и тензорная алгебра
    Пространство тензоров типа . Тензоры типа , , , , , и . Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров
    типа . Тензоры типа в координатах. Преобразование координат тензоров типа . Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
  • 14.3  Операции над тензорами типа
    Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц. Тензорное произведение полилинейных
    форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
    Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.
15   Симметрические и внешние степени векторных пространств
  • 15.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
    Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Симметризация и
    альтернирование и лемма о них. Симметрическое и внешнее произведения векторов. Лемма к теореме и теорема об универсальности симметрической
    степени и внешней степени. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
  • 15.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
    Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения в координатах. Теорема о симметрическом произведении
    и внешнем произведении тензоров. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
  • 15.3  Операции над внешними формами
    Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении. Оператор
    Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.
16   Многообразия (часть 2)
  • 16.1  Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля
    Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля (-формы). Векторные поля и -формы, определяемые координатами.
    Векторные поля и -формы в координатах. Преобразования при замене координат. Расслоение тензоров типа . Тензорные поля типа .
    Тензорные поля типа в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные -формы. Алгебра дифференциальных форм.
  • 16.2  Дифференциальные операции на многообразиях
    Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе. Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и
    точные формы. Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение.
  • 16.3  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
    Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий. Бемоль и
    диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан. Символы Кристоффеля.
    Теорема о связности Леви-Чивиты. Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

Информация о коллоквиуме

Вопросы к коллоквиуму по первой половине третьего семестра
  1. Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
  2. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
  3. Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
  4. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
  5. Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
  6. Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
  7. Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
  8. Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
  9. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора.
  10. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
  11. Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
  12. Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы.
  13. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы.
  14. Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий.
  15. Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
  16. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором.
  17. Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств и следствие из нее.
  18. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении.
  19. Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
  20. Препятствия к диагонализации над . -Диагональные матрицы. -Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем .
  21. Спектральная теорема для евклидовых пространств и следствие из нее. Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.
  22. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
  23. Теорема о сохранении скорости света. Группа .
  24. Теорема о матричной группе Лоренца. Группа . Бусты. Пространство Минковского.
  25. Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.
  26. Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий.
  27. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые на многообразиях. Функции на многообразиях.
  28. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
  29. Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами.
  30. Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат.
  31. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования при замене координат.
  32. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.
Правила проведения коллоквиума
  • В течение всего времени проведения коллоквиума каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4),
    пишущие принадлежности и список вопросов к коллоквиуму. Кроме того, рекомендуется принести с собой на коллоквиум конспект лекций иили
    подробный план курса, так как их будет можно использовать на коллоквиуме в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
  • Для каждого студента коллоквиум начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
    столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем
    начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
    «столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса.
  • Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
    если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
    Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи).
  • После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
    дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой
    половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача.
  • При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
    использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).