Алгебра phys 2 осень

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 201/1.

Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 201/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 201/2.

Дополнительная литература

[1] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2] М.О. Катанаев. Геометрические методы в математической физике.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание третьего семестра курса алгебры

11 Линейные операторы (часть 2)

11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов
Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора
Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных
независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.

12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы

12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и
матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы. Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий.
12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором.
12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах
Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств. Следствие из спектральной теоремы для
унитарных пространств. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении. Теорема о
собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах
Препятствия к диагонализации над $\mathbb {R}$ . $\mathbb {C}$ -Диагональные матрицы. $\mathbb {C}$ -Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем $\mathbb {R}$ . Спектральная
теорема для евклидовых пространств. Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Матричная формулировка спектральной
теоремы для евклидовых пространств. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца
Теорема о сохранении скорости света. Группа $\mathrm O(1,3)$ . Теорема о матричной группе Лоренца. Группа $\mathrm{SO}^+(1,3)$ . Бусты. Пространство Минковского.
Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.

13 Многообразия (часть 1)

13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями
Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые
на многообразиях. Функции на многообразиях. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства
Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательных
пространствах. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования
при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.

14 Тензорные произведения векторных пространств

14.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.
Теорема об универсальности тензорного произведения. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное
произведение линейных операторов. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
14.2 Тензоры типа $(p,q)$ и тензорная алгебра
Пространство тензоров типа $(p,q)$ . Тензоры типа $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ , $(0,2)$ , $(1,2)$ и $(2,1)$ . Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров
типа $(p,q)$ . Тензоры типа $(p,q)$ в координатах. Преобразование координат тензоров типа $(p,q)$ . Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
14.3 Операции над тензорами типа $(p,q)$
Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц. Тензорное произведение полилинейных
форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.

15 Симметрические и внешние степени векторных пространств

15.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Симметризация и
альтернирование и лемма о них. Симметрическое и внешнее произведения векторов. Лемма к теореме и теорема об универсальности симметрической
степени и внешней степени. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
15.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах. Теорема о симметрическом
произведении и внешнем произведении тензоров. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
15.3 Операции над внешними формами
Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении. Оператор
Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.

16 Многообразия (часть 2)

16.1 Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля
Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля ( $1$ -формы). Векторные поля и $1$ -формы, определяемые координатами.
Векторные поля и $1$ -формы в координатах. Преобразования при замене координат. Расслоение тензоров типа $(p,q)$ . Тензорные поля типа $(p,q)$ .
Тензорные поля типа $(p,q)$ в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные $k$ -формы. Алгебра дифференциальных форм.
16.2 Дифференциальные операции на многообразиях
Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе. Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и
точные формы. Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение.
16.3 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий. Бемоль и
диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан. Символы Кристоффеля.
Теорема о связности Леви-Чивиты. Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

Информация о коллоквиуме

Вопросы к коллоквиуму по первой половине третьего семестра

Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора.
Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы.
Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы.
Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий.
Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором.
Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств и следствие из нее.
Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении.
Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
Препятствия к диагонализации над $\mathbb {R}$ . $\mathbb {C}$ -Диагональные матрицы. $\mathbb {C}$ -Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем $\mathbb {R}$ .
Спектральная теорема для евклидовых пространств и следствие из нее. Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.
Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
Теорема о сохранении скорости света. Группа $\mathrm O(1,3)$ .
Теорема о матричной группе Лоренца. Группа $\mathrm{SO}^+(1,3)$ . Бусты. Пространство Минковского.
Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.
Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий.
Гладкие отображения между многообразиями. Кривые на многообразиях. Функции на многообразиях.
Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами.
Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат.
Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования при замене координат.
Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.

Правила проведения коллоквиума

В течение всего времени проведения коллоквиума каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4),
пишущие принадлежности и список вопросов к коллоквиуму. Кроме того, рекомендуется принести с собой на коллоквиум конспект лекций и $/$ или
подробный план курса, так как их будет можно использовать на коллоквиуме в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
Для каждого студента коллоквиум начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и $/$ или подробный план курса на специальном
столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем
начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
«столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций и $/$ или подробный план курса.
Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи).
После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой
половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача.
При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра

Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора.
Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения.
Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное произведение линейных операторов.
Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
Пространство тензоров типа $(p,q)$ . Тензоры типа $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ , $(0,2)$ , $(1,2)$ и $(2,1)$ .
Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа $(p,q)$ .
Тензоры типа $(p,q)$ в координатах. Преобразование координат тензоров типа $(p,q)$ .
Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц.
Тензорное произведение полилинейных форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах.
Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.
Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.
Симметризация и альтернирование. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведения векторов.
Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.
Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах.
Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.
Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении.
Оператор Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.
Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля ( $1$ -формы).
Векторные поля и $1$ -формы, определяемые координатами. Векторные поля и $1$ -формы в координатах. Преобразования при замене координат.
Расслоение тензоров типа $(p,q)$ . Тензорные поля типа $(p,q)$ .
Тензорные поля типа $(p,q)$ в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные $k$ -формы. Алгебра дифференциальных форм.
Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе.
Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и точные формы.
Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение.
Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий.
Бемоль и диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан.
Символы Кристоффеля. Теорема о связности Леви-Чивиты.
Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.

Правила проведения экзамена

В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4), пишущие
принадлежности и список вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и $/$ или подробный план
курса, так как их будет можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и $/$ или подробный план курса на специальном
столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем
начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
«столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций и $/$ или подробный план курса.
Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи).
После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).