Алгебра phys 2 осень — различия между версиями

Версия 17:00, 22 октября 2018

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/1.

Преподаватель практики у подгруппы 201/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/2.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  М.О. Катанаев. Геометрические методы в математической физике.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание третьего семестра курса алгебры

11   Линейные операторы (часть 2)

• 11.1  Многочлены и ряды от линейных операторов
  Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
  линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
  оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
• 11.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
  Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
  Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
  Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
• 11.3  Жорданова нормальная форма линейного оператора
  Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных
  независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
  Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.

12   Линейные операторы и ¯-билинейные формы

• 12.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
  Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и
  матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы. Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий.
• 12.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
  Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
  Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором.
• 12.3  Спектральная теория в унитарных пространствах
  Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств. Следствие из спектральной теоремы для
  унитарных пространств. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении. Теорема о
  собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
• 12.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах
  Препятствия к диагонализации над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Диагональные матрицы. ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Спектральная
  теорема для евклидовых пространств. Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Матричная формулировка спектральной
  теоремы для евклидовых пространств. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
• 12.5  Специальная ортохронная группа Лоренца
  Теорема о сохранении скорости света. Группа ${\displaystyle \mathrm O(1,3)}$. Теорема о матричной группе Лоренца. Группа ${\displaystyle \mathrm{SO}^+(1,3)}$. Бусты. Пространство Минковского.
  Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.

13   Многообразия (часть 1)

• 13.1  Определения и конструкции, связанные с многообразиями
  Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые
  на многообразиях. Функции на многообразиях. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
• 13.2  Касательные пространства и кокасательные пространства
  Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательных
  пространствах. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования
  при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

Информация о коллоквиуме

Вопросы к коллоквиуму по первой половине третьего семестра

1. Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
2. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
3. Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
4. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
5. Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
6. Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
7. Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
8. Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
9. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора.
10. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
11. Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
12. Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы.
13. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы.
14. Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий.
15. Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
16. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором.
17. Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств и следствие из нее.
18. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении.
19. Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
20. Препятствия к диагонализации над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Диагональные матрицы. ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
21. Спектральная теорема для евклидовых пространств и следствие из нее. Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.
22. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
23. Теорема о сохранении скорости света. Группа ${\displaystyle \mathrm O(1,3)}$.
24. Теорема о матричной группе Лоренца. Группа ${\displaystyle \mathrm{SO}^+(1,3)}$. Бусты. Пространство Минковского.
25. Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.
26. Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий.
27. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые на многообразиях. Функции на многообразиях.
28. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
29. Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами.
30. Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат.
31. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования при замене координат.
32. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.