Алгебра phys 1 осень — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Алгебра») |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | Алгебра | + | __NOTOC__ |
+ | <font size="3"><b><u>Лектор и преподаватели практики</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | ||
+ | |||
+ | <b>Преподаватель практики у подгруппы 101/1-а:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | ||
+ | |||
+ | <b>Преподаватель практики у подгруппы 101/2-а:</b> Алексей Викторович Ржонсницкий.<br><br> | ||
+ | |||
+ | <font size="3"><b><u>Дополнительная литература</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | [1] Э.Б. Винберг. Курс алгебры.<br> | ||
+ | [2] А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.<br> | ||
+ | [3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.<br> | ||
+ | [4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.<br> | ||
+ | [5] Ю.И. Манин. Математика как метафора. | ||
+ | |||
+ | Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через [http://eek.diary.ru/p57704941.htm сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm]. | ||
+ | |||
+ | Полезные учебные материалы по алгебре имеются на [http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-1/1314/list.html странице А.Л. Городенцева] и на [http://alexei.stepanov.spb.ru/students/index.html странице А.В. Степанова].<br><br> | ||
+ | |||
+ | <font size="3"><b><u>Содержание первого семестра курса алгебры</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | <h5>1 Множества, отображения, отношения</h5> | ||
+ | <ul><li>1.1 Множества<br> | ||
+ | Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над<br>множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. | ||
+ | <li>1.2 Отображения<br> | ||
+ | Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.<br>Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение. | ||
+ | <li>1.3 Отношения<br> | ||
+ | Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.<br>Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>2 Группы (часть 1)</h5> | ||
+ | <ul><li>2.1 Множества с операцией<br> | ||
+ | Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над<br>подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. | ||
+ | <li>2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)<br> | ||
+ | Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.<br>Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения. | ||
+ | <li>2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы<br> | ||
+ | Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок<br>элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах. | ||
+ | <li>2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп<br> | ||
+ | Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.<br>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>3 Кольца (часть 1)</h5> | ||
+ | <ul><li>3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами<br> | ||
+ | Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о<br>гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. | ||
+ | <li>3.2 Кольца многочленов<br> | ||
+ | Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков<br>по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета. | ||
+ | <li>3.3 Поле комплексных чисел<br> | ||
+ | Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента.<br>Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>. | ||
+ | <li>3.4 Тело кватернионов<br> | ||
+ | Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах<br>кватернионов. Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</ul><br> | ||
+ | |||
+ | [[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры</b></font>]] |
Версия 20:00, 10 сентября 2018
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы 101/1-а: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы 101/2-а: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Дополнительная литература
[1] Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2] А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] Ю.И. Манин. Математика как метафора.
Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm.
Полезные учебные материалы по алгебре имеются на странице А.Л. Городенцева и на странице А.В. Степанова.
Содержание первого семестра курса алгебры
1 Множества, отображения, отношения
- 1.1 Множества
Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над
множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. - 1.2 Отображения
Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.
Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение. - 1.3 Отношения
Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.
2 Группы (часть 1)
- 2.1 Множества с операцией
Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над
подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. - 2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)
Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.
Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения. - 2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы
Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах. - 2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
3 Кольца (часть 1)
- 3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами
Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. - 3.2 Кольца многочленов
Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков
по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета. - 3.3 Поле комплексных чисел
Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа . Экспонента.
Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и . - 3.4 Тело кватернионов
Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах
кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры