Алгебра phys 1 осень

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/1.

Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/2.

Дополнительная литература

[1]  Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  Ю.И. Манин. Математика как метафора.

Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm.

Полезные учебные материалы по алгебре имеются на странице А.Л. Городенцева и на странице А.В. Степанова.

Содержание первого семестра курса алгебры

1   Множества, отображения, отношения

• 1.1  Множества
  Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над
  множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.
• 1.2  Отображения
  Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.
  Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
• 1.3  Отношения
  Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
  Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.

2   Группы (часть 1)

• 2.1  Множества с операцией
  Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над
  подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
• 2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)
  Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.
  Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
• 2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
  Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
  элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
• 2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
  Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
  Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.

3   Кольца (часть 1)

• 3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами
  Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
  гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
• 3.2  Кольца многочленов
  Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков
  по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
• 3.3  Поле комплексных чисел
  Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа $\mathrm S^1$. Экспонента.
  Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$.
• 3.4  Тело кватернионов
  Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах
  кватернионов. Группа $\mathrm {S} ^{3}$. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.

4   Кольца (часть 2)

• 4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
  Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
• 4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
  Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
• 4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. Китайская
  теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
• 4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных
  формул Лагранжа и Ньютона. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к
  несократимой записи. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
• 4.5  Матрицы, столбцы, строки
  Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо $\mathrm{Mat}(n,R)$. Группа $\mathrm{GL}(n,R)$. Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями.
  Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.

5   Группы (часть 2)

• 5.1  Символ Леви-Чивиты и симметрические группы
  Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах
  знака. Знакопеременные группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы $\mathrm S_n$ образующими и соотношениями.
• 5.2  Определитель матрицы и группы матриц
  Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. Теорема о свойствах
  определителя. Геометрический смысл определителя матрицы. Группа $\mathrm{SL}(n,R)$ и ее геометрический смысл. Группа $\mathrm{AGL}(n,R)$ и ее геометрический
  смысл. Группы $\mathrm O(n)$ и $\mathrm{SO}(n)$. Группы $\mathrm U(n)$ и $\mathrm{SU}(n)$. Описание изометрий в $\mathbb {R} ^{n}$. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
• 5.3  Действия групп на множествах
  Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. $G$-Множества. Гомоморфизмы $G$-множеств. Орбиты. Транзитивные
  действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
• 5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
  Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Коммутант группы. Теорема о
  коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.

Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры

Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры

Информация о коллоквиуме

Вопросы к коллоквиуму по первой половине первого семестра

1. Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения.
2. Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение.
3. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
4. Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали.
5. Разбиения. Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле.
6. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.
7. Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы.
8. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции.
9. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
10. Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида.
11. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп. Группы изометрий.
12. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
13. Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством.
14. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
15. Порядок элемента группы. Лемма о порядке элемента.
16. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
17. Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством.
18. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
19. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями.
20. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
21. Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца.
22. Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика.
23. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
24. Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены.
25. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена.
26. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу.
27. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
28. Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел.
29. Группа $\mathrm S^1$. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы.
30. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$.
31. Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах кватернионов.
32. Группа $\mathrm {S} ^{3}$. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.

Правила проведения коллоквиума

• В течение всего времени проведения коллоквиума каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4),
  пишущие принадлежности и список вопросов к коллоквиуму. Кроме того, рекомендуется принести с собой на коллоквиум конспект лекций и$/$или
  подробный план курса, так как их будет можно использовать на коллоквиуме в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
• Для каждого студента коллоквиум начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и$/$или подробный план курса на специальном
  столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем
  начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
  «столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций и$/$или подробный план курса.
• Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
  если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи).
• После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
  дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой
  половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача.
• При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
  использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине первого семестра

1. Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
2. Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах.
3. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
4. Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
5. Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
6. Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
7. Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов.
8. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
9. Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
10. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
11. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к несократимой записи.
12. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
13. Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо $\mathrm{Mat}(n,R)$. Группа $\mathrm{GL}(n,R)$. Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями.
14. Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
15. Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком.
16. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Знакопеременные группы.
17. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы $\mathrm S_n$ образующими и соотношениями.
18. Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов.
19. Теорема о свойствах определителя. Геометрический смысл определителя матрицы.
20. Группа $\mathrm{SL}(n,R)$ и ее геометрический смысл. Группа $\mathrm{AGL}(n,R)$ и ее геометрический смысл. Группы $\mathrm O(n)$ и $\mathrm{SO}(n)$. Группы $\mathrm U(n)$ и $\mathrm{SU}(n)$.
21. Описание изометрий в $\mathbb {R} ^{n}$. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
22. Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия.
23. $G$-Множества. Гомоморфизмы $G$-множеств. Орбиты.
24. Транзитивные действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры.
25. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
26. Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.
27. Коммутант группы. Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп.
28. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.

Правила проведения экзамена

• В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4), пишущие
  принадлежности и список вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и$/$или подробный план
  курса, так как их будет можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
• Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и$/$или подробный план курса на специальном
  столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 14, второй номер будет от 15 до 28) и затем
  начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
  «столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций и$/$или подробный план курса.
• Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
  если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи).
• После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
  дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
  половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
• При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
  использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).