Алгебра phys 1 весна 2018 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 23: | Строка 23: | ||
<li>6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы<br> | <li>6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы<br> | ||
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и<br>порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. | Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и<br>порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. | ||
| − | <li>6.3 Размерность, координаты, замена координат | + | <li>6.3 Размерность, координаты, замена координат<br> |
| − | <li>6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство</ul> | + | Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного<br>оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов. |
| + | <li>6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство<br> | ||
| + | Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о<br>прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат<br>ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.</ul> | ||
<h5>7 Линейные операторы (часть 1)</h5> | <h5>7 Линейные операторы (часть 1)</h5> | ||
| − | <ul><li>7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса | + | <ul><li>7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса<br> |
| − | <li>7.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема | + | Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.<br>Ступенчатые и строго ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. |
| − | <li>7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора</ul> | + | <li>7.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема<br> |
| + | Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные<br>полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма <math>\mathrm{vol}^e</math>. Теорема о формах объема. | ||
| + | <li>7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора<br> | ||
| + | Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(V)</math>. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о<br>присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.<br>Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.</ul> | ||
<h5>8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5> | <h5>8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5> | ||
| Строка 47: | Строка 52: | ||
[[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]] | [[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]] | ||
| + | |||
| + | [[Алгебра_phys_1_апрель–май|<font size="3"><b>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</b></font>]] | ||
Версия 20:00, 17 марта 2018
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.
Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.
Дополнительная литература
[1] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2] И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
Содержание второго семестра курса алгебры
6 Векторные пространства
- 6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Аффинные операторы. Аффинные подпространства. Системы линейных уравнений. - 6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. - 6.3 Размерность, координаты, замена координат
Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов. - 6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
7 Линейные операторы (часть 1)
- 7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
Ступенчатые и строго ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. - 7.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема. - 7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
- 8.1 ¯-Билинейные формы
- 8.2 ¯-Квадратичные формы
- 8.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
- 8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
9 Геометрия в векторных пространствах над или
- 9.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
- 9.2 Предгильбертовы пространства
- 9.3 Ориентация, объем, векторное произведение
10 Алгебры
- 10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
- 10.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры
Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры
