Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 8: | Строка 8: | ||
<h5>6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами</h5> | <h5>6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами</h5> | ||
<ul><li>Векторное пространство над полем <math>K</math> — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>. Свойства операций в векторном пространстве. | <ul><li>Векторное пространство над полем <math>K</math> — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>. Свойства операций в векторном пространстве. | ||
− | |||
<li>Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов. | <li>Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов. | ||
− | |||
<li>Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> — вект. пространство. Кольцо <math>\mathrm{End}(V)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{Aut}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>. | <li>Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> — вект. пространство. Кольцо <math>\mathrm{End}(V)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{Aut}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>. | ||
<li>Подпростр.-во: <math>U\le V\,\Leftrightarrow\,U+U\subseteq U\,\land\,0\in U\,\land\,K\,U\subseteq U</math>. Подпр.-во, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> — наименьш. относ.-но <math>\subseteq</math> подпр.-во, содержащ. <math>D</math>. | <li>Подпростр.-во: <math>U\le V\,\Leftrightarrow\,U+U\subseteq U\,\land\,0\in U\,\land\,K\,U\subseteq U</math>. Подпр.-во, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> — наименьш. относ.-но <math>\subseteq</math> подпр.-во, содержащ. <math>D</math>. | ||
Строка 32: | Строка 30: | ||
<li><u>Теорема о свойствах размерности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любого независимого подмножества <math>C</math> в <math>V</math> выполнено <math>|C|\le\dim V</math> и, если <math>|C|=\dim V</math>, то <math>C</math> — базис;<br>(2) для любого порождающего подмножества <math>D</math> в <math>V</math> выполнено <math>|D|\ge\dim V</math> и, если <math>|D|=\dim V</math>, то <math>D</math> — базис;<br>(3) для любого подпространства <math>U</math> в <math>V</math> выполнено <math>\dim U\le\dim V</math> и, если <math>\dim U=\dim V</math>, то <math>U=V</math>.</i> | <li><u>Теорема о свойствах размерности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любого независимого подмножества <math>C</math> в <math>V</math> выполнено <math>|C|\le\dim V</math> и, если <math>|C|=\dim V</math>, то <math>C</math> — базис;<br>(2) для любого порождающего подмножества <math>D</math> в <math>V</math> выполнено <math>|D|\ge\dim V</math> и, если <math>|D|=\dim V</math>, то <math>D</math> — базис;<br>(3) для любого подпространства <math>U</math> в <math>V</math> выполнено <math>\dim U\le\dim V</math> и, если <math>\dim U=\dim V</math>, то <math>U=V</math>.</i> | ||
<li><u>Теорема о размерности и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)\ne\varnothing</math>, если и только если <math>\dim V\le\dim Y</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)\ne\varnothing</math>, если и только если <math>\dim V\ge\dim Y</math>;<br>(3) <math>V\cong Y</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>;<br>(4) если <math>\dim V=\dim Y</math>, то <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Iso}(V,Y)</math> (это принцип Дирихле для линейных операторов).</i> | <li><u>Теорема о размерности и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)\ne\varnothing</math>, если и только если <math>\dim V\le\dim Y</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)\ne\varnothing</math>, если и только если <math>\dim V\ge\dim Y</math>;<br>(3) <math>V\cong Y</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>;<br>(4) если <math>\dim V=\dim Y</math>, то <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Iso}(V,Y)</math> (это принцип Дирихле для линейных операторов).</i> | ||
− | <li>Множество упорядоченных базисов: <math>\mathrm{OB}(V)</math>. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных | + | <li>Множество упорядоченных базисов: <math>\mathrm{OB}(V)</math>. Столбец координат вектора: <math>v^e</math>. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных простр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}\!\biggr)</math>. |
<li>Матрица линейн. оператора <math>a</math>: <math>(a_e^h)^\bullet_j=a(e_j)^h</math>. Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>. | <li>Матрица линейн. оператора <math>a</math>: <math>(a_e^h)^\bullet_j=a(e_j)^h</math>. Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>. | ||
<p><u>Теорема о матрице линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,X,Y,Z</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) если <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>p=\dim Y<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, то <math>\forall\,a\in\mathrm{Hom}(V,Y),\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math>, а также отображение<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств (и, значит, <math>\dim\mathrm{Hom}(V,Y)=n\,p</math>);<br>(2) если <math>\dim V,\dim X,\dim Z<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>f\in\mathrm{OB}(X)</math> и <math>g\in\mathrm{OB}(Z)</math>, то <math>\forall\,a\in\mathrm{Hom}(V,X),\,b\in\mathrm{Hom}(X,Z)\;\bigl((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\bigr)</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о матрице линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,X,Y,Z</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) если <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>p=\dim Y<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, то <math>\forall\,a\in\mathrm{Hom}(V,Y),\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math>, а также отображение<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств (и, значит, <math>\dim\mathrm{Hom}(V,Y)=n\,p</math>);<br>(2) если <math>\dim V,\dim X,\dim Z<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>f\in\mathrm{OB}(X)</math> и <math>g\in\mathrm{OB}(Z)</math>, то <math>\forall\,a\in\mathrm{Hom}(V,X),\,b\in\mathrm{Hom}(X,Z)\;\bigl((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\bigr)</math>.</i></p> | ||
Строка 47: | Строка 45: | ||
<li>Внутренняя прямая сумма: <math>V=V_1\oplus\ldots\oplus V_k\,\Leftrightarrow\,\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>. Прямая сумма матриц. Лемма об инвариантном подпространстве. | <li>Внутренняя прямая сумма: <math>V=V_1\oplus\ldots\oplus V_k\,\Leftrightarrow\,\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>. Прямая сумма матриц. Лемма об инвариантном подпространстве. | ||
<p><u>Лемма об инвариантном подпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>U\le V</math> и<br><math>a(U)\subseteq U</math> (то есть <math>U</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство), а также <math>n'=\dim U</math> и <math>n''\!=n-n'</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>;<br>(2) если <math>W\le V</math>, <math>V=U\oplus W</math> и <math>a(W)\subseteq W</math>, то существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math> и <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i></p> | <p><u>Лемма об инвариантном подпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>U\le V</math> и<br><math>a(U)\subseteq U</math> (то есть <math>U</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство), а также <math>n'=\dim U</math> и <math>n''\!=n-n'</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>;<br>(2) если <math>W\le V</math>, <math>V=U\oplus W</math> и <math>a(W)\subseteq W</math>, то существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math> и <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i></p> | ||
− | <li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j=e_j^*=\bigl(v\mapsto(v^e)^j\bigr)</math>. Столбец <math>e^*\!=\biggl(\begin{smallmatrix}e^1\\\vdots\\e^n\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Строка координат ковектора. | + | <li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j=e_j^*=\bigl(v\mapsto(v^e)^j\bigr)</math>. Столбец <math>e^*\!=\biggl(\begin{smallmatrix}e^1\\\vdots\\e^n\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Строка координат ковектора: <math>\lambda_e</math>. |
− | <li>Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K_n\!\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>, а также <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>. | + | <li>Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K_n\!\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>, а также <math>\,\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>. |
− | <li>Двойственный оператор (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>): <math>\biggl(\!\begin{align}a^*\colon Y^*\!&\to V^*\\\theta&\mapsto\theta\circ a\end{align}\!\biggr)</math>. Утверждение: <i> | + | <li>Двойственный оператор (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>): <math>\biggl(\!\begin{align}a^*\colon Y^*\!&\to V^*\\\theta&\mapsto\theta\circ a\end{align}\!\biggr)</math>. Утверждение: <i>если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to V^{**}\\v&\mapsto\bigl(\lambda\mapsto\lambda(v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм вект. пр.-в</i>.</ul><br> |
<table border cellpadding="4" cellspacing="0"> | <table border cellpadding="4" cellspacing="0"> | ||
Строка 57: | Строка 55: | ||
<td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td> | <td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td> | ||
<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr><tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td> | <td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr><tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td> | ||
− | <td>скорость в точке<br> | + | <td>скорость в точке<br>гладкой кривой<br>на многообразии</td></tr> |
<tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td> | <tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td> | ||
<td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td> | <td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td> | ||
Строка 70: | Строка 68: | ||
<h5>7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса</h5> | <h5>7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса</h5> | ||
<ul><li>Ранг линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранги матрицы <math>a</math> по столбцам и по строкам: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a^\bullet_1,\ldots,a^\bullet_n\rangle</math> и <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1_\bullet,\ldots,a^p_\bullet\rangle</math>. | <ul><li>Ранг линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранги матрицы <math>a</math> по столбцам и по строкам: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a^\bullet_1,\ldots,a^\bullet_n\rangle</math> и <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1_\bullet,\ldots,a^p_\bullet\rangle</math>. | ||
− | <li>Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(a)\ | + | <li>Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>, <math>\mathrm{rk}(a^*)=\mathrm{rk}((a_e^h)^\mathtt T)</math> и <math>\mathrm{rk}(a+b)\le\mathrm{rk}(a)+\mathrm{rk}(b)</math></i>. Тензорное произв.-е вектора <math>y</math> и ковектора <math>\lambda</math>: <math>(y\otimes\lambda)(v)=\lambda(v)\,y</math>. |
<li>Утверждение: <i><math>y\otimes\lambda\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>\mathrm{rk}(y\otimes\lambda)\le1</math> и <math>(y\otimes\lambda)_e^h=y^h\cdot\lambda_e</math></i>. Теорема о свойствах ранга. Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(b\circ a)\le\min(\mathrm{rk}(a),\mathrm{rk}(b))</math></i>. | <li>Утверждение: <i><math>y\otimes\lambda\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>\mathrm{rk}(y\otimes\lambda)\le1</math> и <math>(y\otimes\lambda)_e^h=y^h\cdot\lambda_e</math></i>. Теорема о свойствах ранга. Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(b\circ a)\le\min(\mathrm{rk}(a),\mathrm{rk}(b))</math></i>. | ||
− | <p><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) | + | <p><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}(a)=\dim V-\dim\mathrm{Ker}\,a</math> и <math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{rk}(a)=\min\,\{m\in\mathbb N_0\!\mid\exists\,y_1,\ldots,y_m\in Y,\,\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in V^*\,\bigl(a=y_1\otimes\lambda_1+\ldots+y_m\otimes\lambda_m\bigr)\}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^*)=\mathrm{rk}(a)</math> (и, значит, для любых <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\mathrm{rk}(a)</math>);<br>(4) сущ.-т такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math> (это теорема о приведении матрицы оператора к почти единичному виду).</i></p> |
<li>Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): <math>\mathrm{id}_n+c\,\mathbf e_i^j</math> (<math>c\in K</math>, <math>i\ne j</math>). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): <math>\mathrm{id}_n+(c-1)\,\mathbf e_i^i</math> (<math>c\in K^\times</math>). | <li>Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): <math>\mathrm{id}_n+c\,\mathbf e_i^j</math> (<math>c\in K</math>, <math>i\ne j</math>). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): <math>\mathrm{id}_n+(c-1)\,\mathbf e_i^i</math> (<math>c\in K^\times</math>). | ||
<li>Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathbf e_i^k)\cdot a</math> и <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\,\mathbf e_i^i)\cdot a</math>. Элементарные преобр.-я над столбцами. | <li>Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathbf e_i^k)\cdot a</math> и <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\,\mathbf e_i^i)\cdot a</math>. Элементарные преобр.-я над столбцами. |
Версия 03:00, 6 января 2018
Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры
| ||||||||||||
|
6 Векторные пространства
6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
- Векторное пространство над полем — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из . Свойства операций в векторном пространстве.
- Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
- Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): — вект. пространство. Кольцо , группа .
- Подпростр.-во: . Подпр.-во, порожд. мн.-вом : — наименьш. относ.-но подпр.-во, содержащ. .
- Утверждение: . Линейная комбинация элементов множества : .
- Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре линейного оператора.
Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) — инъекция, если и только если . - Аффинные операторы: , где . Аффинные подпростр.-ва: , где . Утверждение: .
- Матричная запись системы из линейных уравн.-й от переменных: (, , ). Однородная система: .
6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
- — независимое мн.-во: . — порождающее мн.-во: . Базис — независ. порожд. мн.-во.
- Стандартные базисы пространств и : и . Стандартный базис простр.-ва : .
- Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) — базис пространства ;
(у2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
(у3) для любого вектора существует единственная такая финитная функция , что ;
(у4) — максимальное независимое множество (то есть — независимое мн.-во и для любых мн.-во не является независимым);
(у5) — минимальное порождающее множество (то есть — порождающее мн.-во и для любых мн.-во не является порождающим). - Теорема об универсальности базиса. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над и — базис пространства ; тогда для любых
существует единственный такой , что (и, значит, — изоморфизм вект. пространств). - Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над , — базис пространства и ; тогда
(1) — инъекция, если и только если — инъекция и — независимое множество;
(2) — сюръекция, если и только если — порождающее множество;
(3) — изоморфизм, если и только если — инъекция и — базис. - Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) если — независимое множество и , то ;
(2) если и — базисы пространства , то . - Теорема о существовании базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , — независимое подмножество в и
— порождающее подмножество в , а также в существует конечное порождающее подмножество; тогда
(1) существует такой базис пространства , что (и, значит, дополняя до базиса множество , получаем, что в существует базис);
(2) существует такой базис пространства , что (и, значит, выделяя базис из множества , получаем, что в существует базис).
6.3 Размерность, координаты, замена координат
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то . - Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов). - Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора: . Утверждение: . Изоморфизм векторных простр.-в .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) если , , и , то , а также отображение
— изоморфизм векторных пространств (и, значит, );
(2) если , , и , то . - Матрица замены координат (): . Пример: (, ). Утверждение: и .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобразование матрицы линейного оператора: ; то же в покомпонентной записи (если ): .
6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
- Факторпространство: с фактороперациями (). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: .
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ;
(1') если , то (и, значит, );
(2) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа). - Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
линейный оператор ; тогда
(1) если и — базисы пространств соответственно, то множества попарно
не пересекаются и — базис пространства ;
(1') если , то ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "";
(4) если и , то (это формула Грассмана). - Внутренняя прямая сумма: . Прямая сумма матриц. Лемма об инвариантном подпространстве.
Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
(то есть — -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что . - Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора: .
- Утверждение: . Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и , а также .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: если , то — изоморфизм вект. пр.-в.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкой кривой на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
7 Линейные операторы (часть 1)
7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
- Ранг линейного оператора : . Ранги матрицы по столбцам и по строкам: и .
- Утверждение: , и . Тензорное произв.-е вектора и ковектора : .
- Утверждение: , и . Теорема о свойствах ранга. Утверждение: .
Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, — векторные пространства над полем , и ; тогда
(1) и ;
(2) ;
(3) (и, значит, для любых и выполнено );
(4) сущ.-т такие и , что (это теорема о приведении матрицы оператора к почти единичному виду). - Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): (, ). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): ().
- Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: и . Элементарные преобр.-я над столбцами.
- Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства . - Метод Гаусса для реш.-я системы : привед.-е к ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундамент. система решений.
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
(1) и, если , то ;
(2) , а также, если , то , и, если , то
— класс смежности по подпростр.-ву (и, значит, аффинное подпростр.-во размерности ).
7.2 Полилинейные операторы, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема
- Пространства полилинейных операторов и . Пространства полилинейных форм и .
- Пространства билинейных операторов и . Пространства билинейных форм и . Примеры полилин.-х форм.
- Перестановка аргументов форм: . Действие группы : .
- Пространство симметричных полилинейных форм: .
- Пр.-во антисимм. полилин. форм: .
- Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) ;
(2) и, если , то "" можно заменить на "";
(3) если , то . - Простр.-во форм объема: , где . Форма объема, связанная с упоряд. базисом : .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) множество — базис пространства (и, значит, );
(4) для любых и выполнено .
7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
- Определитель линейн. оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Утверждение: . Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: .
Теорема о свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда отображение
— гомоморфизм моноидов по умножению, а также . - Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Сравнение эффективности явных формул для нахождения , , и метода Гаусса.
Теорема о присоединенной матрице. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и, если , то (и, значит, ).Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ). - Собственные число и вектор лин. операт. : . Спектр лин. опер. : . Лемма о спектре.
Лемма о спектре. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда
и, если , то "" можно заменить на "". - Характеристический многочлен матрицы : . Характеристический многочлен лин. оператора : . Корректность опред.-я.
- Утверждение: . След лин. оператора : . Корректность опр.-я. Теорема о характеристическом многочлене.
Теорема о характеристическом многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
и, если и , то и .